Fart og akselerasjon

Deriver posisjonen og få fartsvektoren. Deriver igjen og få akselerasjonen. Tangenter, skrått kast, sirkelbevegelse og strekning langs banen.

R2
Fint å kunne først: ParameterkurverDerivasjon av trigonometriske funksjonerSkrått kast
Utforsk

Start her: utforsk

Du kjører gjennom en rundkjøring. Speedometeret står stødig. Likevel kjenner du at du blir presset ut mot siden. Hva er det som endrer seg?

Bilen kjører rundt i rundkjøringen sett ovenfra. Rutene er meter, og pila viser hvor bilen er på vei akkurat nå.

−40−30−20−1010203040−30−20−10102030\text{bil}
Speedometeret viser 8 m/s, altså 29 km/t.

Prøv dette:

  1. Spill av. Endrer tallet på speedometeret seg underveis?
  2. Følg pila. Hva skjer med den hele tiden, selv om speedometeret står stille?
  3. Gjør rundkjøringen mindre, men behold farten. Snur pila raskere eller saktere? Når tror du det presser mest mot siden?
Forklaring

Forklaring

Posisjonsvektoren

I rundkjøringen sto speedometeret stille, men pila snudde hele tiden. Det som endrer seg, er retningen. Hastighet er ikke bare et tall. Det er en vektor, med både størrelse (det speedometeret viser) og retning (dit nesen på bilen peker). For å regne med det trenger vi vektorer som funksjoner av tiden.

Et objekt som beveger seg langs kurven x=x(t)x = x(t), y=y(t)y = y(t), har posisjonsvektoren

r⃗(t)=[x(t), y(t)]\vec r(t) = [x(t),\ y(t)]

Fartsvektoren

Hvor flytter objektet seg i løpet av et lite tidsrom hh? Forflytningen er r⃗(t+h)−r⃗(t)\vec r(t + h) - \vec r(t). Deler vi på hh og lar h→0h \to 0, får vi den deriverte av hver koordinat for seg:

v⃗(t)=r⃗ ′(t)=[x′(t), y′(t)]\vec v(t) = \vec r\,'(t) = [x'(t),\ y'(t)]

Dette er fartsvektorenFartsvektorDen deriverte av posisjonsvektoren. Den peker i bevegelsesretningen, og lengden er farten.. Den peker i bevegelsesretningen, altså langs tangentenTangentEn rett linje som berører grafen i ett punkt og har samme retning som grafen der. til banen.

Fart er lengden av fartsvektoren

Farten (banefarten) er tallet speedometeret viser. Det er lengden av fartsvektoren:

v(t)=∣v⃗(t)∣=x′(t)2+y′(t)2v(t) = |\vec v(t)| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}

Akselerasjonsvektoren

Akselerasjonen forteller hvordan fartsvektoren endrer seg. Vi deriverer én gang til:

a⃗(t)=v⃗ ′(t)=[x′′(t), y′′(t)]\vec a(t) = \vec v\,'(t) = [x''(t),\ y''(t)]

Akselerasjonen kan endre farten, retningen, eller begge. Den delen av a⃗\vec a som peker langs v⃗\vec v, endrer farten. Den delen som står vinkelrett på v⃗\vec v, svinger banen.

Tangenter

Fartsvektoren [x′(t),y′(t)][x'(t), y'(t)] er en retningsvektor for tangenten. Stigningstallet til tangenten er derfor

y′(t)x′(t)na˚r x′(t)≠0\frac{y'(t)}{x'(t)} \qquad \text{når } x'(t) \neq 0
  • Vannrett tangent: y′(t)=0y'(t) = 0 og x′(t)≠0x'(t) \neq 0.
  • Loddrett tangent: x′(t)=0x'(t) = 0 og y′(t)≠0y'(t) \neq 0.

Skrått kast

En ball kastes med startfart v0v_0 i vinkelen α\alpha fra høyden h0h_0:

r⃗(t)=[v0cos⁡α⋅t,  h0+v0sin⁡α⋅t−12gt2]\vec r(t) = \left[v_0 \cos\alpha \cdot t,\ \ h_0 + v_0\sin\alpha \cdot t - \tfrac{1}{2}gt^2\right]

Deriverer vi, får vi v⃗(t)=[v0cos⁡α, v0sin⁡α−gt]\vec v(t) = [v_0\cos\alpha,\ v_0\sin\alpha - gt] og a⃗(t)=[0,−g]\vec a(t) = [0, -g]. Akselerasjonen er konstant og peker rett ned. Den vannrette farten endrer seg aldri.

Modell: Skrått kast med vektorer

Ballen kastes med 12 m/s i vinkelen α\alpha. Vektorene er tegnet med en femtedel av lengden.

−112345678910111213141516−1123456789
v⃗=[7,71; 9,19]\vec v = [7{,}71;\ 9{,}19] m/s, fart 1212 m/s
a⃗=[0; −9,81]\vec a = [0;\ -9{,}81] m/s²

Prøv dette: Hvor er farten minst? Hva er fartsvektoren der? Og hva skjer med akselerasjonen underveis?

Sirkelbevegelse

Et objekt går rundt en sirkel med radius RR og vinkelfart ω\omega (radianer per sekund):

r⃗(t)=[Rcos⁡ωt, Rsin⁡ωt]\vec r(t) = [R\cos\omega t,\ R\sin\omega t]

Med kjerneregelen får vi

v⃗(t)=[−Rωsin⁡ωt, Rωcos⁡ωt],a⃗(t)=[−Rω2cos⁡ωt, −Rω2sin⁡ωt]=−ω2 r⃗(t)\vec v(t) = [-R\omega\sin\omega t,\ R\omega\cos\omega t], \qquad \vec a(t) = [-R\omega^2\cos\omega t,\ -R\omega^2\sin\omega t] = -\omega^2\,\vec r(t)
  • Farten er konstant: ∣v⃗∣=Rω|\vec v| = R\omega.
  • Akselerasjonen peker inn mot sentrum (fordi a⃗=−ω2r⃗\vec a = -\omega^2 \vec r). Den kalles sentripetalakselerasjon og har størrelse Rω2=v2RR\omega^2 = \dfrac{v^2}{R}.

Det var dette du kjente i rundkjøringen.

Modell: Fart og akselerasjon i sirkelen

Den blå pila er fartsvektoren. Den røde er akselerasjonen. Endre radien og vinkelfarten.

−6−5−4−3−2−1123456−4−3−2−11234
Fart: ∣v⃗∣≈3|\vec v| \approx 3, og Rω=3R\omega = 3
Akselerasjon: ∣a⃗∣≈3|\vec a| \approx 3, og Rω2=3R\omega^2 = 3

Prøv dette:

  1. Doble vinkelfarten. Hva skjer med farten, og hva skjer med akselerasjonen?
  2. Står akselerasjonen alltid vinkelrett på fartsvektoren? Hvorfor endrer ikke farten seg da?

Strekning langs banen

På et lite tidsrom Δt\Delta t flytter objektet seg omtrent ∣v⃗(t)∣⋅Δt|\vec v(t)| \cdot \Delta t. Summerer vi opp og lar Δt→0\Delta t \to 0, får vi et integral. Strekningen fra t=at = a til t=bt = b er

s=∫ab∣v⃗(t)∣ dt=∫abx′(t)2+y′(t)2 dts = \int_a^b |\vec v(t)|\,dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt

Integralet er ofte vanskelig å regne ut eksakt, men lett å regne ut numerisk.

Modell: Hvor langt går refleksen?

Refleksen på sykkelhjulet fra forrige deltema går én bue når tt går fra 0 til 2π2\pi. Programmet regner ut strekningen med en sum av små biter ∣v⃗(t)∣⋅Δt|\vec v(t)| \cdot \Delta t. Kjør det, og prøv flere biter.

PythonStrekning langs en sykloide
Ctrl/Cmd + Enter kjører koden. Første kjøring laster Python (noen sekunder).

Prøv dette: Svaret ser ut til å være et helt tall. Hvilket? Hjulet har radius 1. Hvor langt har hjulet selv rullet?

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Fart og akselerasjon

Et objekt har posisjonen r⃗(t)=[t2, t3−3t]\vec r(t) = [t^2,\ t^3 - 3t]. Finn fartsvektoren, farten og akselerasjonen når t=2t = 2.

v⃗(t)=[2t, 3t2−3]\vec v(t) = [2t,\ 3t^2 - 3] og a⃗(t)=[2, 6t]\vec a(t) = [2,\ 6t].
v⃗(2)=[4,9]\vec v(2) = [4, 9], så farten er 16+81=97≈9,85\sqrt{16 + 81} = \sqrt{97} \approx 9{,}85.
a⃗(2)=[2,12]\vec a(2) = [2, 12].
Eksempel 2: Vannrette og loddrette tangenter

Finn punktene der kurven i eksempel 1 har vannrett eller loddrett tangent.

Vannrett: y′(t)=3t2−3=0y'(t) = 3t^2 - 3 = 0 gir t=±1t = \pm 1. Der er x′(t)=±2≠0x'(t) = \pm 2 \neq 0.
t=1t = 1 gir (1,−2)(1, -2), og t=−1t = -1 gir (1,2)(1, 2). Begge har vannrett tangent.
Loddrett: x′(t)=2t=0x'(t) = 2t = 0 gir t=0t = 0. Der er y′(0)=−3≠0y'(0) = -3 \neq 0. Punktet (0,0)(0, 0) har loddrett tangent.
Eksempel 3: Toppen av et kast

En ball kastes fra bakken med 20 m/s i vinkelen 30°30°. Når er den på toppen, og hvor fort går den da? Bruk g=9,81g = 9{,}81 m/s².

v⃗(t)=[20cos⁡30°, 20sin⁡30°−9,81t]=[17,32; 10−9,81t]\vec v(t) = [20\cos 30°,\ 20\sin 30° - 9{,}81t] = [17{,}32;\ 10 - 9{,}81t].
På toppen er den loddrette farten 0: 10−9,81t=010 - 9{,}81t = 0, så t≈1,02t \approx 1{,}02 s.
Da er v⃗=[17,32; 0]\vec v = [17{,}32;\ 0], og farten er 17,317{,}3 m/s. Ballen står ikke stille på toppen!
Eksempel 4: Karusell

En karusell har radius 4 m og går én runde på 8 s. Finn farten og akselerasjonen til en som sitter ytterst.

Vinkelfarten: ω=2π8=π4\omega = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4} rad/s.
Fart: Rω=4⋅π4=π≈3,14R\omega = 4 \cdot \dfrac{\pi}{4} = \pi \approx 3{,}14 m/s.
Akselerasjon: Rω2=4⋅π216=π24≈2,47R\omega^2 = 4 \cdot \dfrac{\pi^2}{16} = \dfrac{\pi^2}{4} \approx 2{,}47 m/s², rettet inn mot sentrum.
Eksempel 5: Strekning

Finn strekningen langs r⃗(t)=[3cos⁡t, 3sin⁡t]\vec r(t) = [3\cos t,\ 3\sin t] for t∈[0,π]t \in [0, \pi].

v⃗(t)=[−3sin⁡t, 3cos⁡t]\vec v(t) = [-3\sin t,\ 3\cos t], så ∣v⃗(t)∣=9sin⁡2t+9cos⁡2t=3|\vec v(t)| = \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t} = 3.
s=∫0π3 dt=3π≈9,42s = \displaystyle\int_0^\pi 3\,dt = 3\pi \approx 9{,}42.
Kontroll: En halv sirkel med radius 3 har lengde 12⋅2π⋅3=3π\frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot 3 = 3\pi.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Fart og fartsvektor. Fartsvektoren er en vektor. Farten er lengden av den, et tall.
  • «Konstant fart betyr null akselerasjon.» Bare hvis retningen også er konstant. I en sirkel er farten konstant, men akselerasjonen er Rω2R\omega^2.
  • Derivere med hensyn på xx. Vi deriverer x(t)x(t) og y(t)y(t) med hensyn på tt.
  • Stillestående på toppen. I et skrått kast er bare den loddrette farten 0 på toppen.
  • Vannrett tangent der x′(t)=0x'(t) = 0. Det er omvendt: x′(t)=0x'(t) = 0 gir loddrett tangent.
Huskelapp

Huskelapp

  • v⃗(t)=[x′(t), y′(t)]\vec v(t) = [x'(t),\ y'(t)], langs tangenten.
  • Fart: ∣v⃗(t)∣=x′(t)2+y′(t)2|\vec v(t)| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}
  • a⃗(t)=[x′′(t), y′′(t)]\vec a(t) = [x''(t),\ y''(t)]
  • Vannrett tangent: y′=0y' = 0. Loddrett tangent: x′=0x' = 0.
  • Skrått kast: a⃗=[0,−g]\vec a = [0, -g].
  • Sirkel: ∣v⃗∣=Rω|\vec v| = R\omega, ∣a⃗∣=Rω2=v2R|\vec a| = R\omega^2 = \frac{v^2}{R}, inn mot sentrum.
  • Strekning: s=∫ab∣v⃗(t)∣ dts = \int_a^b |\vec v(t)|\,dt
Oppgaver

Øv selv