Kurver i rommet · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

En vannsklie snor seg nedover i en spiral, som en vindeltrapp. Hvordan ser banen ut sett ovenfra? Og sett fra siden?

Dra i figuren for å se den fra ulike kanter. Flytt punktet med tiden, og endre radien og hvor bratt banen stiger.

Dra i figuren for å rotere.

Radius2Stigning0,25Tid3

Høyde over bunnen: 0,75

Antall runder så langt: 0,48

Prøv dette:

Se banen rett ovenfra. Hvilken kurve ser du?
Se banen fra siden. Hvordan endrer høyden seg med tiden?
Sett stigningen til 0. Hva slags bane får du da?

Forklaring

Tre koordinater

Ovenfra går du rundt og rundt i en sirkel: $x = R\cos t$ , $y = R\sin t$ . Fra siden går du jevnt oppover (eller nedover): $z = ct$ . Kombinerer du de to bevegelsene, får du en skruelinje, samme form som en fjær, en vindeltrapp eller et DNA-molekyl. Alt vi har lært om parameterframstillinger i planet, fungerer i rommet også. Vi får bare én koordinat til.

En kurve i rommet er gitt ved

\vec r(t) = [x(t),\ y(t),\ z(t)]

Fartsvektor, fart og akselerasjon finner vi akkurat som i planet, ved å derivere hver koordinat:

\vec v(t) = [x'(t),\ y'(t),\ z'(t)], \qquad |\vec v(t)| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}, \qquad \vec a(t) = [x''(t),\ y''(t),\ z''(t)]

Skruelinjen

En skruelinje går rundt en sylinder med radius $R$ og stiger jevnt:

\vec r(t) = [R\cos t,\ R\sin t,\ ct]

Sett ovenfra ( $x$ og $y$ ) er det en sirkel.
For hver runde ( $t$ øker med $2\pi$ ) stiger kurven $2\pi c$ . Det kalles stigningen.
Fartsvektoren er $\vec v(t) = [-R\sin t,\ R\cos t,\ c]$ , og farten er $\sqrt{R^2 + c^2}$ . Den er konstant.

Lengden av én runde er fart ganger tid: $2\pi\sqrt{R^2 + c^2}$ . Det kan vi sjekke uten derivasjon: Klipp opp sylinderen og brett den ut. Da blir én runde av skruelinjen hypotenusen i en rettvinklet trekant med katetene $2\pi R$ (omkretsen) og $2\pi c$ (stigningen).

Modell: Skruelinjen med fartsvektor

Endre radien $R$ og stigningsfaktoren $c$ . Flytt punktet med $t$ . Den grønne pila er fartsvektoren.

Dra i figuren for å rotere.

R

2

c

0,25

t

3

\vec v = [-0{,}28;\ -1{,}98;\ 0{,}25]

Farten:

\sqrt{R^2 + c^2} = \sqrt{ 2^2 + 0{,}25^2 } \approx 2{,}016

Stigning per runde:

2\pi c \approx 1{,}57

Kurven er flyttet 2 ned ( $z = ct - 2$ ) så den får plass i figuren.

Prøv dette:

Sett $c = 0$ . Hva slags kurve får du?
Se ovenfra og fra siden. Hvilke kurver ser du da?
Hvorfor endrer ikke lengden av fartsvektoren seg når du flytter punktet?

Tangentlinjen

Tangentlinjen i punktet der $t = t_0$ går gjennom $\vec r(t_0)$ og har fartsvektoren som retningsvektor:

[x, y, z] = \vec r(t_0) + s \cdot \vec v(t_0)

Skjæring med et plan

Sett koordinatene $x(t)$ , $y(t)$ og $z(t)$ inn i likningen for planet, og løs for $t$ . Hver løsning gir ett skjæringspunkt.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: En skruelinje

En vannsklie følger $\vec r(t) = [2\cos t,\ 2\sin t,\ -0{,}5t]$ (i meter). Finn farten, hvor mye den synker per runde og lengden av én runde.

\vec v(t) = [-2\sin t,\ 2\cos t,\ -0{,}5]

, så farten er

\sqrt{4 + 0{,}25} \approx 2{,}06

.

Én runde tar

2\pi

. Da synker den

0{,}5 \cdot 2\pi = \pi \approx 3{,}14

m.

Lengden av én runde:

2\pi \cdot 2{,}06 \approx 12{,}95

m.

Eksempel 2: Tangentlinje

Finn tangentlinjen til $\vec r(t) = [t,\ t^2,\ 2t]$ i punktet der $t = 1$ .

Punktet:

\vec r(1) = [1, 1, 2]

.

\vec v(t) = [1,\ 2t,\ 2]

, så

\vec v(1) = [1, 2, 2]

.

Tangentlinjen:

[x, y, z] = [1, 1, 2] + s[1, 2, 2]

.

Eksempel 3: Kurve gjennom et plan

Hvor skjærer kurven $\vec r(t) = [t,\ t^2,\ t^3]$ planet $x + y + z = 3$ ?

Sett inn:

t + t^2 + t^3 = 3

.

t = 1

passer. Polynomdivisjon gir

t^3 + t^2 + t - 3 = (t - 1)(t^2 + 2t + 3)

, og

t^2 + 2t + 3 = 0

har ingen løsninger.

Skjæringspunktet er

(1, 1, 1)

.

Vanlige feil

Å glemme $z$ -leddet i farten. $|\vec v| = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}$ .
Stigning og stigningsfaktor. I $[R\cos t, R\sin t, ct]$ stiger kurven $c$ per radian, men $2\pi c$ per runde.
Parameteren i tangentlinjen. Bruk en ny parameter ( $s$ ) for linja. $t_0$ er et fast tall.

Huskelapp

$\vec r(t) = [x(t), y(t), z(t)]$ , $\vec v = \vec r\,'$ , $\vec a = \vec v\,'$ .
Skruelinje $[R\cos t, R\sin t, ct]$ : fart $\sqrt{R^2 + c^2}$ , stigning $2\pi c$ per runde.
Tangentlinje: $\vec r(t_0) + s \cdot \vec v(t_0)$ .
Skjæring med plan: sett inn og løs for $t$ .