Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Den deriverte av sin x er cos x. Hvorfor, og hvordan vi bruker det til svingninger, fart og ekstremalpunkter.

R2
Fint å kunne først: Trigonometriske identiteterKjerneregelenHva er en grenseverdi?
Utforsk

Start her: utforsk

Et lodd henger i en fjær og svinger opp og ned. Grafen viser hvor mange cm loddet er over likevektspunktet. Hvor går loddet fortest? Hvor står det stille et øyeblikk?

Flytt tiden. Den stiplede linja er tangenten, og stigningstallet er farten.

1234567−15−10−551015tid (s)
posisjon (cm)tangenten
Posisjon: 8,4 cm.
Fart akkurat nå: 5,4 cm/s.

Prøv dette:

  1. Hvor er farten størst? Hvor er loddet da?
  2. Hvor er farten null? Hva skjer med loddet der?
  3. Les av farten for mange tidspunkter, og tegn farten som en graf i hodet (eller på papir). Hvilken kjent graf ligner den på?
Forklaring

Forklaring

Reglene

Farten til loddet var størst der grafen krysset aksen, og null på toppene og i bunnene. Tegner du farten som en egen graf, starter den på toppen (ved t=0t = 0), går ned til null, og blir negativ. Det er nøyaktig formen til cosinus:

(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x(tan⁡x)′=1cos⁡2x=1+tan⁡2x(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

Reglene gjelder bare når xx er i radianer. Det er hovedgrunnen til at vi bruker radianer i analysen.

Modell: Tangenten til sinus

Flytt punktet langs sin⁡x\sin x (blå). Stigningstallet til tangenten er lik verdien av cos⁡x\cos x (oransje) i samme xx.

π/2π3π/22π−1,5−1−0,50,511,5
sin⁡x\sin x(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos xtangenttangent
Stigningstall til tangenten: cos⁡(1)=0,54\cos(1) = 0{,}54

Prøv dette:

  1. Hvor er den oransje grafen null? Hva skjer med den blå der?
  2. Bytt rolle i tankene: Er −sin⁡x-\sin x den deriverte av cos⁡x\cos x? Sjekk ved å se på hvor cos⁡x\cos x stiger og synker.

Hvorfor er (sin x)’ = cos x?

Med definisjonen og sumformelen:

sin⁡(x+h)−sin⁡xh=sin⁡x⋅cos⁡h−1h+cos⁡x⋅sin⁡hh\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}

To grenseverdier avgjør alt: sin⁡hh→1\dfrac{\sin h}{h} \to 1 og cos⁡h−1h→0\dfrac{\cos h - 1}{h} \to 0 når h→0h \to 0 (i radianer). Dermed går uttrykket mot sin⁡x⋅0+cos⁡x⋅1=cos⁡x\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.

Med kjerneregelen

(sin⁡(kx))′=kcos⁡(kx)(cos⁡(kx))′=−ksin⁡(kx)\big(\sin(kx)\big)' = k\cos(kx) \qquad \big(\cos(kx)\big)' = -k\sin(kx)(Asin⁡(cx+φ)+d)′=Accos⁡(cx+φ)\big(A\sin(cx + \varphi) + d\big)' = Ac\cos(cx + \varphi)

Svingninger: fart og akselerasjon

En masse i en fjær har posisjon s(t)=Asin⁡(ωt)s(t) = A\sin(\omega t). Da er farten v(t)=s′(t)=Aωcos⁡(ωt)v(t) = s'(t) = A\omega\cos(\omega t) og akselerasjonen a(t)=v′(t)=−Aω2sin⁡(ωt)=−ω2s(t)a(t) = v'(t) = -A\omega^2\sin(\omega t) = -\omega^2 s(t). Akselerasjonen peker alltid mot likevektspunktet.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Kjerneregelen

Deriver f(x)=3sin⁡(2x)−cos⁡(4x)f(x) = 3\sin(2x) - \cos(4x).

(3sin⁡(2x))′=3⋅2cos⁡(2x)=6cos⁡(2x)\big(3\sin(2x)\big)' = 3 \cdot 2\cos(2x) = 6\cos(2x).
(cos⁡(4x))′=−4sin⁡(4x)\big(\cos(4x)\big)' = -4\sin(4x), så −cos⁡(4x)-\cos(4x) gir +4sin⁡(4x)+4\sin(4x).
f′(x)=6cos⁡(2x)+4sin⁡(4x)f'(x) = 6\cos(2x) + 4\sin(4x).
Eksempel 2: Produktregelen

Deriver g(x)=xsin⁡xg(x) = x\sin x.

g′(x)=1⋅sin⁡x+x⋅cos⁡x=sin⁡x+xcos⁡xg'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x.
Eksempel 3: Ekstremalpunkter

Finn største og minste verdi av f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x for x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].

f′(x)=cos⁡x−sin⁡x=0f'(x) = \cos x - \sin x = 0 gir tan⁡x=1\tan x = 1, altså x=π4x = \frac{\pi}{4} eller x=5π4x = \frac{5\pi}{4}.
f(π4)=22+22=2f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} og f(5π4)=−2f\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}.
Endepunktene gir f(0)=f(2π)=1f(0) = f(2\pi) = 1. Største verdi er 2\sqrt{2}, minste er −2-\sqrt{2}.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • (cos⁡x)′=sin⁡x(\cos x)' = \sin x. Glem ikke minustegnet: (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x.
  • Å glemme kjernen. (sin⁡(3x))′=3cos⁡(3x)\big(\sin(3x)\big)' = 3\cos(3x), ikke cos⁡(3x)\cos(3x).
  • Grader. (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x gjelder bare i radianer. I grader dukker det opp en faktor π180\frac{\pi}{180}.
  • (sin⁡2x)′=2sin⁡x(\sin^2 x)' = 2\sin x. Kjerneregelen gir 2sin⁡x⋅cos⁡x=sin⁡2x2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x.
Huskelapp

Huskelapp

  • (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x, (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x, (tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}
  • (sin⁡(kx))′=kcos⁡(kx)\big(\sin(kx)\big)' = k\cos(kx), (cos⁡(kx))′=−ksin⁡(kx)\big(\cos(kx)\big)' = -k\sin(kx)
  • Bare i radianer.
  • Svingning s=Asin⁡(ωt)s = A\sin(\omega t): v=Aωcos⁡(ωt)v = A\omega\cos(\omega t), a=−ω2sa = -\omega^2 s.
Oppgaver

Øv selv