Parameterkurver · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Fest en refleks på eikene til et sykkelhjul, helt ute ved felgen. Når sykkelen ruller forbi, hvilken bane tegner refleksen?

Gjett og tegn banen på et ark før du spiller av. Hjulet har radius 1, og det oransje punktet er refleksen.

t

0

t = 0

: refleksen er i

(0;\ 0)

Farten til refleksen:

0

(hjulet ruller med fart 1)

Prøv dette:

Lignet banen på det du tegnet? Hvordan ser den ut der refleksen treffer bakken?
Hvor fort går refleksen når den er nederst, ved bakken? Og øverst?
Hvor langt har hjulet rullet når refleksen er nede igjen?

Forklaring

Fra linjer til kurver

Refleksens bane kalles en sykloide. Prøv å skrive den som $y = f(x)$ . Det blir vanskelig. Men spør du «hvor er refleksen ved tiden $t$ ?», blir det enkelt: Hjulet flytter seg fram, og refleksen går rundt. Begge deler er lett å beskrive med $t$ . Det er styrken til parameterframstillinger: Vi beskriver $x$ og $y$ hver for seg, som funksjoner av tiden.

En parameterframstilling av en kurve er to funksjoner av en parameter $t$ :

x = f(t), \qquad y = g(t), \qquad t \in [a, b]

For hver $t$ får vi et punkt $(f(t), g(t))$ . Når $t$ øker, beveger punktet seg langs kurven. For linjer var $f$ og $g$ lineære. Nå kan de være hvilke funksjoner som helst.

Sirkelen

Punktet $(\cos t, \sin t)$ ligger på enhetssirkelen for alle $t$ . Strekker vi med radien $r$ og flytter sentrum til $(x_0, y_0)$ , får vi en sirkel:

x = x_0 + r\cos t, \qquad y = y_0 + r\sin t, \qquad t \in [0, 2\pi)

Punktet går én runde mot klokka når $t$ øker med $2\pi$ .

Modell: Sirkel og ellipse

Endre halvaksene $a$ og $b$ . Pila er fartsvektoren. Den viser hvilken vei punktet går.

t

0

a

3

b

2

x = 3\cos t

og

y = 2\sin t

\dfrac{x^2}{ 3^2 } + \dfrac{y^2}{ 2^2 } = 1

Prøv dette:

Sett $a = b$ . Hvilken kurve får du?
Spill av. Hvilken vei går punktet rundt? Hva må du endre for å få det til å gå andre veien?
Hvorfor blir tallet nederst alltid 1?

Ellipsen

Strekker vi ulikt i de to retningene, får vi en ellipse med halvakser $a$ og $b$ :

x = a\cos t, \qquad y = b\sin t

Fra parameterframstilling til likning

Noen ganger kan vi eliminere $t$ og få en likning med bare $x$ og $y$ .

Løs for $t$ . $x = 2t + 1$ gir $t = \frac{x - 1}{2}$ . Setter vi inn i $y = t^2$ , får vi $y = \frac{(x - 1)^2}{4}$ .
Bruk $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . For ellipsen er $\cos t = \frac{x}{a}$ og $\sin t = \frac{y}{b}$ , så

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Mange parameterkurver kan ikke skrives som $y = f(x)$ . En sirkel gir to $y$ -verdier for de fleste $x$ , og en kurve kan krysse seg selv.

Skjæring med aksene

Kurven skjærer $x$ -aksen der $y = 0$ . Løs $g(t) = 0$ , og sett løsningene inn i $f(t)$ . Flere $t$ -verdier kan gi samme punkt. Da krysser kurven seg selv der.

Sykloiden

Et hjul med radius $r$ ruller langs $x$ -aksen. Etter at hjulet har rullet vinkelen $t$ (i radianer), har sentrum flyttet seg buelengden $rt$ og ligger i $(rt, r)$ . Et punkt på felgen har gått vinkelen $t$ rundt sentrum, med klokka, og startet nederst. Det gir

x = r(t - \sin t), \qquad y = r(1 - \cos t)

Modell: Lissajous-figurer

$x = \sin(pt)$ og $y = \sin(qt)$ . Prøv ulike heltall for $p$ og $q$ .

t

0

p

3

q

2

Prøv dette: Hva skjer når $p = q$ ? Hva er sammenhengen mellom $p$ , $q$ og antall «buer» langs kantene?

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Parameterframstilling av en sirkel

Finn en parameterframstilling for sirkelen med sentrum $(2, -1)$ og radius 3. Finn punktet der $t = \frac{\pi}{3}$ .

x = 2 + 3\cos t

og

y = -1 + 3\sin t

,

t \in [0, 2\pi)

.

t = \frac{\pi}{3}

:

x = 2 + 3 \cdot \frac{1}{2} = 3{,}5

og

y = -1 + 3 \cdot \frac{\sqrt 3}{2} \approx 1{,}60

.

Eksempel 2: Eliminer t

Finn en likning for kurven $x = 2t + 1$ , $y = t^2 - 1$ .

Løs den første for

t

:

t = \dfrac{x - 1}{2}

.

Sett inn:

y = \left(\dfrac{x - 1}{2}\right)^2 - 1 = \dfrac{(x - 1)^2}{4} - 1

. Kurven er en parabel.

Eksempel 3: Hvilken kurve?

Hva slags kurve er $x = 3\cos t$ , $y = 2\sin t$ ?

\cos t = \dfrac{x}{3}

og

\sin t = \dfrac{y}{2}

.

\cos^2 t + \sin^2 t = 1

gir

\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1

.

Det er en ellipse med halvakser 3 (langs

x

-aksen) og 2 (langs

y

-aksen).

Eksempel 4: En kurve som krysser seg selv

Finn skjæringspunktene med $x$ -aksen for $x = t^2 - 1$ , $y = t^3 - 4t$ .

y = 0

:

t(t^2 - 4) = 0

, så

t = 0

,

t = 2

eller

t = -2

.

t = 0

gir

x = -1

. Både

t = 2

og

t = -2

gir

x = 3

.

Skjæringspunktene er

(-1, 0)

og

(3, 0)

. Kurven passerer

(3, 0)

to ganger, så den krysser seg selv der.

Vanlige feil

Grader i stedet for radianer. $x = \cos t$ med $t$ fra 0 til $2\pi$ forutsetter radianer.
Feil intervall. $t \in [0, \pi]$ gir bare en halv sirkel. Hele sirkelen krever $t \in [0, 2\pi)$ .
Å tro at kurven må være en funksjon. En parameterkurve kan ha flere $y$ -verdier for samme $x$ , og kan krysse seg selv.
$x$ og $y$ for seg. Et punkt på kurven krever samme $t$ i begge koordinatene.

Huskelapp

Kurve: $x = f(t)$ , $y = g(t)$ .
Sirkel: $x = x_0 + r\cos t$ , $y = y_0 + r\sin t$ .
Ellipse: $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ , likning $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ .
Eliminer $t$ : løs for $t$ , eller bruk $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ .
Sykloide: $x = r(t - \sin t)$ , $y = r(1 - \cos t)$ .