Skrått kast · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Slipp én ball rett ned, og kast en annen vannrett ut fra samme høyde i samme øyeblikk. Hvilken treffer bakken først?

Gjett før du spiller av. Begge ballene starter 10 m over bakken.

Tid (s) 0Vannrett fart for den kastede ballen (m/s)8

Etter 0 s: Den sluppede ballen er 10 m over bakken.

Den kastede ballen er 10 m over bakken og 0 m ut.

Prøv dette:

Hvilken ball treffer bakken først? Stemte gjetningen din?
Øk farten til den kastede ballen. Hva endrer seg? Hva er det samme?
Hvor langt bortover kommer den kastede ballen hvert sekund? Er det likt hele tiden?

Forklaring

Banen

De to ballene landet samtidig. Den vannrette bevegelsen påvirker ikke hvor fort ballen faller. Det er nøkkelen til skrått kast: Vi kan dele bevegelsen i to uavhengige deler.

Vannrett: konstant fart (vi ser bort fra luftmotstand). Med 8 m/s er ballen $8t$ meter ut etter $t$ sekunder.
Loddrett: konstant akselerasjon nedover, $g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2$ . Etter $t$ sekunder har ballen falt $\frac{1}{2} g t^2 = 4{,}905t^2$ meter.

En parameterframstilling med tiden $t$ som parameter binder de to delene sammen. En ball kastes fra høyden $h_0$ med farten $v_0$ og vinkelen $\alpha$ over vannrett. Da er

\begin{cases} x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t \\ y(t) = h_0 + v_0 \sin\alpha \cdot t - \tfrac{1}{2} g t^2 \end{cases}

Startfarten deles i en vannrett komponent $v_0\cos\alpha$ og en loddrett komponent $v_0\sin\alpha$ .

Fartsvektoren

Deriverer vi hver koordinat, får vi fartsvektoren:

\vec v(t) = [x'(t),\ y'(t)] = [v_0\cos\alpha,\ v_0\sin\alpha - gt]

Den vannrette farten er konstant. Den loddrette farten minker jevnt.

Toppunktet

På toppen går ballen verken opp eller ned: $y'(t) = 0$ .

t_{\text{topp}} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}

Landing og kastelengde

Ballen lander når $y(t) = 0$ . Det er en andregradslikning i $t$ . Kastelengden er $x$ i landingstidspunktet. Kastes ballen fra bakken ( $h_0 = 0$ ), blir kastelengden størst med $\alpha = 45°$ .

Modell: Kast med vinkel

Nå kastes ballen på skrå. Endre startfart, vinkel og utkastshøyde. Den oransje pila er fartsvektoren.

t

0 s

v_0

15

\alpha

40

h_0

2

Posisjon:

(0,\ 2)

m

Fart:

|\vec v| = 15

m/s

Toppunkt ved

t = 0{,}98

s, høyde

6{,}74

m

Kastelengde:

24{,}76

m

Prøv dette:

Sett $h_0 = 0$ . Hvilken vinkel gir lengst kast? Hvilke to vinkler gir samme kastelengde?
Hva er farten på toppen av banen? Hvorfor er den ikke 0?
Sett $h_0 = 2$ (som i kulestøt). Er 45° fortsatt den beste vinkelen?

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Toppunkt

En ball kastes fra bakken med $v_0 = 20$ m/s og $\alpha = 30°$ . Når og hvor høyt når den toppen?

v_0\cos 30° \approx 17{,}32

og

v_0 \sin 30° = 10

.

y'(t) = 10 - 9{,}81t = 0

gir

t_{\text{topp}} = \dfrac{10}{9{,}81} \approx 1{,}02

s.

y(1{,}02) = 10 \cdot 1{,}02 - 4{,}905 \cdot 1{,}02^2 \approx 5{,}10

m.

Eksempel 2: Kastelengde

Hvor langt går ballen i eksempel 1?

y(t) = 10t - 4{,}905t^2 = t(10 - 4{,}905t) = 0

gir

t = 0

eller

t = \dfrac{10}{4{,}905} \approx 2{,}04

s.

x(2{,}04) = 17{,}32 \cdot 2{,}04 \approx 35{,}3

m.

Eksempel 3: Farten ved landing

Hvor fort går ballen når den lander?

\vec v(2{,}04) = [17{,}32,\ 10 - 9{,}81 \cdot 2{,}04] \approx [17{,}32,\ -10{,}0]

.

|\vec v| = \sqrt{17{,}32^2 + 10{,}0^2} \approx 20{,}0

m/s, samme fart som ved utkastet (når ballen lander i samme høyde).

Vanlige feil

Å bruke $v_0$ både vannrett og loddrett. Dekomponer: $v_0\cos\alpha$ vannrett og $v_0\sin\alpha$ loddrett.
Kalkulatoren i radianer. $\cos 30°$ med kalkulatoren i radianer gir feil svar.
Å tro at farten er 0 på toppen. Bare den loddrette farten er 0. Den vannrette er den samme hele tiden.
Å glemme utkastshøyden. Med $h_0 > 0$ blir landingslikningen en fullstendig andregradslikning.

Huskelapp

$x(t) = v_0\cos\alpha \cdot t$ , $\quad y(t) = h_0 + v_0\sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$
$\vec v(t) = [v_0\cos\alpha,\ v_0\sin\alpha - gt]$
Toppunkt: $y'(t) = 0$ , altså $t = \frac{v_0\sin\alpha}{g}$ .
Landing: løs $y(t) = 0$ . Kastelengde = $x$ ved landing.
Fra bakken gir 45° lengst kast (uten luftmotstand).