Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner

Utforsk

Start her: utforsk

En bakteriekultur starter med 100 bakterier og dobles hver time. Jo flere bakterier det er, jo flere nye blir det per time. Hvor fort vokser kulturen akkurat nå, og hvordan henger det sammen med hvor mange bakterier det er?

Flytt punktet langs grafen. Den oransje linja er tangenten, og stigningstallet er vekstfarten akkurat i det øyeblikket.

antall bakteriertangenten

Tid (timer)2

Etter 2 timer: 400 bakterier.

Vekstfart akkurat nå: 277 nye bakterier per time.

Vekstfart delt på antall: 0,693

Prøv dette:

Sammenlign antall bakterier og vekstfarten etter 1, 2 og 3 timer. Hva skjer med vekstfarten når antallet dobles?
Se på den nederste linja i avlesningen. Endrer den seg når du flytter punktet?
Tenk deg en kultur som tredobles hver time i stedet. Tror du forholdet blir større eller mindre?

Forklaring

Stigningstallet er proporsjonalt med høyden

I bakteriemodellen var vekstfarten delt på antallet alltid $0{,}693$ , uansett tidspunkt. Etter 2 timer var det 400 bakterier og vekstfarten 277 per time. Etter 3 timer var det 800 bakterier og vekstfarten 555 per time. Vekstfarten er proporsjonal med størrelsen.

Grafen til en eksponentialfunksjon $a^x$ har denne egenskapen: Er grafen dobbelt så høy, er den dobbelt så bratt. Stigningstallet er altså høyden ganget med et fast tall $k$ :

(a^x)' = k \cdot a^x

Tallet $k$ avhenger bare av grunntallet $a$ . Siden $a^0 = 1$ , er $k$ stigningstallet til grafen i $x = 0$ . Med tangenter kan vi måle det: For $a = 2$ er $k \approx 0{,}69$ , og for $a = 3$ er $k \approx 1{,}10$ .

Tallet e

Når $a = 2$ er $k$ for liten, og når $a = 3$ er $k$ for stor. Et sted mellom 2 og 3 finnes det et grunntall der $k$ er nøyaktig 1. Det tallet er Eulers tall $e \approx 2{,}718$ . For $e^x$ er stigningstallet altså lik høyden, og vi får den vakreste regelen i hele derivasjonen:

(e^x)' = e^x

Modell: Finn tallet e

Her er $f(x) = a^x$ med tangenten i $x = 0$ . Endre $a$ til stigningstallet til tangenten blir 1. Hvilket tall havner du på?

f(x) = a^x

tangent i x = 0

a

2

Stigningstallet i

x = 0

er

\ln a = 0{,}6931

Modell: Stigning lik høyde

For $e^x$ er stigningstallet til tangenten nøyaktig lik funksjonsverdien. Flytt punktet og sammenlign tallene.

f(x) = e^x

tangent

p

0,5

Høyde:

f(0{,}5) = 1{,}649

Stigningstall:

f'(0{,}5) = 1{,}649

Fra eˣ til aˣ

Alle positive tall kan skrives som en potens av $e$ : $a = e^{\ln a}$ . Da er

a^x = \left(e^{\ln a}\right)^x = e^{(\ln a) \cdot x}

Grafen til $a^x$ er altså grafen til $e^x$ klemt sammen langs $x$ -aksen med faktoren $\ln a$ . Høydene er de samme, men de nås $\ln a$ ganger så fort. Da blir alle stigningstall $\ln a$ ganger så store:

(a^x)' = a^x \cdot \ln a

Tallet $k$ vi lette etter er altså $\ln a$ . Sjekk: $\ln 2 \approx 0{,}69$ og $\ln 3 \approx 1{,}10$ .

Les mer Utregningen med grenseverdier

Her er den samme regelen utledet fra definisjonen av den deriverte.

Steg 1: Faktoren $k$ . Differansekvotienten til $a^x$ er

\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \frac{a^x \cdot a^h - a^x}{h} = a^x \cdot \frac{a^h - 1}{h}

Brøken $\frac{a^h - 1}{h}$ inneholder ikke $x$ . Grenseverdien $k = \lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$ er derfor et fast tall, og $(a^x)' = a^x \cdot k$ .

Steg 2: Definisjonen av $e$ . $e$ er grunntallet der denne grenseverdien er 1:

\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1

Tabellen viser at det stemmer for $e \approx 2{,}718$ :

$h$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$
$\frac{e^h - 1}{h}$	$1{,}0517$	$1{,}0050$	$1{,}0005$

Steg 3: Bytt $a$ med $e^{\ln a}$ . Da er $a^h = e^{h \ln a}$ . Vi setter $u = h \ln a$ , slik at $h = \frac{u}{\ln a}$ . Når $h \to 0$ , går også $u \to 0$ :

\frac{a^h - 1}{h} = \frac{e^{u} - 1}{\dfrac{u}{\ln a}} = \frac{e^{u} - 1}{u} \cdot \ln a \ \longrightarrow\ 1 \cdot \ln a = \ln a

Grenseverdien er altså $\ln a$ , og $(a^x)' = a^x \ln a$ . Talleksempel med $a = 2$ og $h = 0{,}001$ : $\frac{2^{0{,}001} - 1}{0{,}001} \approx 0{,}6934$ , mens $\ln 2 \approx 0{,}6931$ .

Hvorfor finnes $e$ ? Grenseverdien $k(a)$ vokser når $a$ vokser, og den er under 1 for $a = 2$ og over 1 for $a = 3$ . Da må den være nøyaktig 1 for ett tall mellom 2 og 3. Å bevise at $k(a)$ faktisk er kontinuerlig og voksende krever mer teori enn vi har her. Det er temaet i et universitetskurs i analyse.

Den naturlige logaritmen

$\ln x$ er den omvendte funksjonen til $e^x$ . Grafen er speilet om linja $y = x$ , og da blir stigningstallene omvendte: der $e^x$ har stigningstall $e^a$ (og høyde $e^a$ ), har $\ln x$ stigningstall $\frac{1}{e^a}$ . Med $x = e^a$ gir det

(\ln x)' = \frac{1}{x}

Modell: Stigningstallet til ln x

f(x) = \ln x

tangent

p

1

f'(1) = \dfrac{1}{1} = 1

Prøv dette:

Hva skjer med stigningstallet til $\ln x$ når $x$ blir stor? Hva betyr det for grafen?
For hvilken $a$ er stigningstallet i $x = 0$ negativt? Hvordan ser grafen ut da?

Oversikt

$f(x)$	$f'(x)$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	1x
$e^{kx}$	$k e^{kx}$ (se kjerneregelen)

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Blandet funksjon

Deriver $f(x) = 3e^x - x^2 + 4\ln x$ .

Deriver ledd for ledd:

(3e^x)' = 3e^x

,

(x^2)' = 2x

og

(4\ln x)' = \dfrac{4}{x}

.

f'(x) = 3e^x - 2x + \dfrac{4}{x}

.

Eksempel 2: Et annet grunntall

Deriver $g(x) = 5 \cdot 2^x$ og finn $g'(3)$ .

g'(x) = 5 \cdot 2^x \ln 2

.

g'(3) = 5 \cdot 8 \cdot \ln 2 = 40 \ln 2 \approx 27{,}7

.

Eksempel 3: Tangenten til ln x

Finn tangentlikningen til $f(x) = \ln x$ i $x = 1$ .

f(1) = \ln 1 = 0

. Punktet er

(1, 0)

.

f'(x) = \dfrac{1}{x}

, så

f'(1) = 1

.

y - 0 = 1 \cdot (x - 1)

, altså

y = x - 1

.

Vanlige feil

Å bruke potensregelen på $e^x$ . $(e^x)' \neq x e^{x-1}$ . Potensregelen gjelder når grunntallet er variabelen, ikke eksponenten.
Å glemme $\ln a$ . $(2^x)' = 2^x \ln 2$ , ikke $2^x$ .
Å tro at $e$ er en variabel. $e$ er et tall. Derfor er $(e^2)' = 0$ og $(e \cdot x)' = e$ .
Å skrive $(\ln x)' = \frac{1}{\ln x}$ . Riktig er 1x.
Å overse logaritmeregler. $\ln(3x) = \ln 3 + \ln x$ , så $(\ln 3x)' = \frac{1}{x}$ .

Huskelapp

$(e^x)' = e^x$
$(a^x)' = a^x \ln a$
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ for $x > 0$
$e \approx 2{,}718$ er grunntallet som gir stigningstall 1 i $x = 0$ .
$e$ er et tall: $(e^2)' = 0$ .