Tangenten og tangentlikningen

Utforsk

Start her: utforsk

Står du på en rund jordklode, ser bakken flat ut. Jorda er krum, men rett rundt deg er den nesten en plan flate. Gjelder det samme for grafer?

Hva er $\sqrt{4{,}1}$ uten kalkulator? Du vet at $\sqrt{4} = 2$ . Den oransje linja berører grafen til $\sqrt{x}$ i punktet $(4, 2)$ . Flytt $x$ og sammenlign grafen med linja.

grafen til

\sqrt{x}

linja som berører grafen i

(4, 2)

x

4,1

Grafen: √4,1 = 2,0248

Linja: 2,025

Forskjell: 0,0002

Prøv dette:

Hvor godt stemmer linja med grafen for $x = 4{,}1$ ? Hva er da et godt svar på $\sqrt{4{,}1}$ ?
Flytt $x$ lenger bort fra 4. Når blir forskjellen større enn 0,1?
Linja stiger 14 for hver enhet til høyre. Hvorfor akkurat 14? (Tips: den deriverte av $\sqrt{x}$ .)

Forklaring

Tangentlikningen

Den oransje linja i utforskingen er tangenten til $\sqrt{x}$ i $x = 4$ . Den går gjennom punktet $(4, 2)$ og har stigningstallet $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$ . Derfor er linja $y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$ , og den gir $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \frac{0{,}1}{4} = 2{,}025$ . Kalkulatoren gir $2{,}0248$ .

En rett linje er bestemt av ett punkt og et stigningstall. For tangenten i $x = a$ har vi begge deler:

Punktet: $(a, f(a))$
Stigningstallet: $f'(a)$

Setter vi dette inn i ettpunktsformelen $y - y_1 = m(x - x_1)$ , får vi tangentlikningen:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Oppskrift

Regn ut $f(a)$ , altså $y$ -verdien i punktet.
Deriver og regn ut $f'(a)$ , altså stigningstallet.
Sett inn i $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ og løs for $y$ .

Modell: Tangenten flytter seg

Flytt punktet $a$ langs grafen til $f(x) = \frac{1}{4}x^3 - x + 1$ . Tangentlikningen oppdateres mens du drar.

f(x) = \tfrac{1}{4}x^3 - x + 1

tangent

a

1,5

Punktet:

(1{,}5,\ 0{,}344)

Stigningstall:

f'(1{,}5) = 0{,}688

Tangent:

y = 0{,}688x + (-0{,}687)

Prøv dette:

Finn de to punktene der tangenten er vannrett.
Sett $a = 0$ . Tangenten skjærer grafen et annet sted. Hvor?
Hvor godt stemmer tangenten med grafen når du går 0,5 til høyre for punktet? Og 2 til høyre?

Tangenten som tilnærming

Nær $x = a$ er grafen og tangenten nesten like, så

f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)

Dette kalles en lineær tilnærming. Den brukes overalt i fysikk og teknologi, for eksempel når kalkulatorer og datamaskiner regner ut funksjonsverdier.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Tangenten til en parabel

Finn tangentlikningen til $f(x) = x^2 - 3x + 4$ i punktet der $x = 2$ .

f(2) = 4 - 6 + 4 = 2

. Punktet er

(2, 2)

.

f'(x) = 2x - 3

, så

f'(2) = 1

.

y - 2 = 1 \cdot (x - 2)

, som gir

y = x

.

Eksempel 2: Tilnærming med tangenten

Bruk tangenten til $f(x) = \sqrt{x}$ i $x = 4$ til å finne en tilnærmet verdi for $\sqrt{4{,}1}$ .

f(4) = 2

og

f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

, så

f'(4) = \dfrac{1}{4}

.

Tangenten:

y = 2 + \dfrac{1}{4}(x - 4)

.

For

x = 4{,}1

:

y = 2 + \dfrac{1}{4} \cdot 0{,}1 = 2{,}025

.

Kalkulatoren gir

\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}02485

. Tilnærmingen er svært god.

Eksempel 3: Tangent med gitt stigningstall

I hvilket punkt har $f(x) = x^3$ en tangent med stigningstall 12 (for $x > 0$ )? Finn tangentlikningen.

f'(x) = 3x^2 = 12

gir

x^2 = 4

, så

x = 2

.

f(2) = 8

. Punktet er

(2, 8)

.

y - 8 = 12(x - 2)

, som gir

y = 12x - 16

.

Vanlige feil

Å bruke $f'(x)$ i stedet for $f'(a)$ . Tangenten er en rett linje. Stigningstallet må være et tall, ikke et uttrykk med $x$ .
Å bruke $f(a)$ som stigningstall. $f(a)$ er høyden, $f'(a)$ er stigningstallet.
Fortegnsfeil i ettpunktsformelen. $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Med $a = -1$ blir det $(x + 1)$ .
Å stole på tilnærmingen langt fra punktet. Tangenten er bare en god tilnærming nær $x = a$ .

Huskelapp

Tangenten i $x = a$ går gjennom $(a, f(a))$ og har stigningstall $f'(a)$ .
Tangentlikningen: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ .
Vannrett tangent: $f'(a) = 0$ .
Lineær tilnærming: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ nær $x = a$ .

Start her: utforsk

Forklaring

Tangentlikningen

Oppskrift

Modell: Tangenten flytter seg

Tangenten som tilnærming

Gjennomgåtte eksempler

Vanlige feil

Huskelapp

Øv selv