Logaritmer

Logaritmen er svaret på spørsmålet «hva må jeg opphøye i?». Tierlogaritmer, naturlige logaritmer og logaritmiske skalaer.

R11T
Fint å kunne først: Potensregler
Utforsk

Start her: utforsk

Hvor mange nuller har en million? Hvor mange ganger må du gange 10 med seg selv for å få en million? Og hvor mange ganger må du dele 1 på 10 for å få en tusendel?

På linja er hvert merke ti ganger så stort som det forrige. Kjente lengder er merket av.

10⁻¹⁰10⁻⁸10⁻⁶10⁻⁴10⁻²10⁰10²10⁴10⁶10⁸10¹⁰10¹²atomvirusbakteriehårstrå (tykkelse)sandkornmaurmenneskefotballbaneGaldhøpiggen (høyde)jordas diameteravstand til månenavstand til sola
1⋅100 m1 \cdot 10^{0}\ \text{m} = 1 m
Tierpotensen 10⁰ er 1, så tallet er bare a. Nærmest på linja: menneske.

Prøv dette:

  1. Hvor mange merker er det fra 1 m til 1000 m? Fra 1 m til jordas diameter (omtrent 10 000 000 m)?
  2. Hvor mange merker er det fra 1 m til en maur (0,005 m)? Til et virus? Hvilken retning går du?
  3. Hvis du vet hvor mange merker et tall ligger fra 1, hva vet du da om tallet?
Forklaring

Forklaring

Definisjonen

En million har seks nuller, og fra 1 til en million er det seks merker på linja. Det tallet er logaritmen:

lg⁡1 000 000=6fordi106=1 000 000\lg 1\,000\,000 = 6 \qquad \text{fordi} \qquad 10^6 = 1\,000\,000

Logaritmen er det omvendte av en potens. Potensen spør «hva blir 10310^3?» (svar: 1000). Logaritmen spør baklengs: «10 opphøyd i hva blir 1000?» (svar: 3). For en tusendel går du tre merker til venstre: lg⁡0,001=−3\lg 0{,}001 = -3.

For x>0x > 0 er

lg⁡x=y⟺10y=x\lg x = y \quad \Longleftrightarrow \quad 10^y = x

lg⁡x\lg x kalles logaritmenLogaritmeLogaritmen svarer på spørsmålet «hva må grunntallet opphøyes i?». lg⁡1000=3\lg 1000 = 3 fordi 103=100010^3 = 1000. til xx med grunntall 10 (tierlogaritmen).

Den naturlige logaritmen

Med grunntall e≈2,718e \approx 2{,}718 får vi den naturlige logaritmenNaturlig logaritmeLogaritmen med grunntall ee. ln⁡x\ln x er tallet du må opphøye ee i for å få xx.:

ln⁡x=y⟺ey=x\ln x = y \quad \Longleftrightarrow \quad e^y = x

Den brukes mest i R1, fordi exe^x og ln⁡x\ln x har de enkleste derivasjonsreglene.

Andre grunntall

log⁡ax=y\log_a x = y betyr ay=xa^y = x. For eksempel er log⁡232=5\log_2 32 = 5 fordi 25=322^5 = 32.

Verdier å kunne

xx0,0010{,}0010,010{,}010,10{,}111101010010010001000
lg⁡x\lg x−3-3−2-2−1-100112233

Og: ln⁡1=0\ln 1 = 0, ln⁡e=1\ln e = 1.

Logaritmen opphever potensen

Fordi logaritmen og potensen er omvendte operasjoner, er

10lg⁡x=xlg⁡(10x)=xeln⁡x=xln⁡(ex)=x10^{\lg x} = x \qquad \lg(10^x) = x \qquad e^{\ln x} = x \qquad \ln(e^x) = x

Modell: Potens og logaritme speilet

Den blå grafen er 10x10^x, den oransje er lg⁡x\lg x. De er speilbilder om linja y=xy = x. Dra aa og se at punktene bytter koordinater.

−2−112345678−2−112345678
y=10xy = 10^xy=lg⁡xy = \lg xy=xy = x
100,5=3,16210^{0{,}5} = 3{,}162, altså lg⁡3,162=0,5\lg 3{,}162 = 0{,}5

Bare positive tall

10y10^y er alltid positivt, uansett hva yy er. Derfor finnes det ingen logaritme til 0 eller negative tall. lg⁡(−5)\lg(-5) er ikke definert.

Modell: En logaritmisk skala

Når verdiene spenner fra ørsmå til enorme, bruker vi logaritmiske skalaer. pH-skalaen er et eksempel:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Batterisyre Sitronsaft Kaffe Rent vann Sjøvann Såpe Salmiakk Avløpsåpner pH = 0: 1 mol H⁺ per liter pH = 14: 0,000 000 000 000 01 mol Ett steg til venstre = 10 ganger så sur
pH-skalaen er logaritmisk: pH =−lg⁡[H+]= -\lg[\text{H}^+]. Sitronsaft (pH 2) er ikke litt surere enn kaffe (pH 5), men 103=100010^3 = 1000 ganger så sur.

Prøv dette:

  1. Hvorfor kommer den oransje grafen aldri til venstre for yy-aksen?
  2. Hvor mye surere er sitronsaft enn rent vann?
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Regn ut uten kalkulator

Finn lg⁡100 000\lg 100\,000, lg⁡0,001\lg 0{,}001 og ln⁡e4\ln e^4.

100 000=105100\,000 = 10^5, så lg⁡100 000=5\lg 100\,000 = 5.
0,001=10−30{,}001 = 10^{-3}, så lg⁡0,001=−3\lg 0{,}001 = -3.
ln⁡e4=4\ln e^4 = 4, fordi ln⁡\ln og ee opphever hverandre.
Eksempel 2: Anslå en logaritme

Mellom hvilke hele tall ligger lg⁡500\lg 500?

100<500<1000100 < 500 < 1000, altså 102<500<10310^2 < 500 < 10^3.
Derfor er 2<lg⁡500<32 < \lg 500 < 3. Kalkulatoren gir lg⁡500≈2,70\lg 500 \approx 2{,}70.
Eksempel 3: pH

En løsning har [H+]=0,0001[\text{H}^+] = 0{,}0001 mol/L. Hva er pH, når pH =−lg⁡[H+]= -\lg[\text{H}^+]?

0,0001=10−40{,}0001 = 10^{-4}, så lg⁡0,0001=−4\lg 0{,}0001 = -4.
pH =−(−4)=4= -(-4) = 4. Løsningen er sur.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å tro at lg⁡x\lg x kan være negativ bare hvis xx er negativ. lg⁡0,01=−2\lg 0{,}01 = -2. Logaritmen er negativ for 0<x<10 < x < 1, og xx kan aldri være negativ.
  • Å regne ut lg⁡(−5)\lg(-5) eller lg⁡0\lg 0. De finnes ikke.
  • Å blande lg⁡\lg og ln⁡\ln. lg⁡100=2\lg 100 = 2, men ln⁡100≈4,6\ln 100 \approx 4{,}6. Sjekk hvilken knapp du bruker på kalkulatoren.
  • Å tro at lg⁡20=2⋅lg⁡10\lg 20 = 2 \cdot \lg 10. lg⁡20≈1,30\lg 20 \approx 1{,}30, ikke 2. (Riktig regel: lg⁡102=2lg⁡10\lg 10^2 = 2 \lg 10.)
Huskelapp

Huskelapp

  • lg⁡x=y  ⟺  10y=x\lg x = y \iff 10^y = x og ln⁡x=y  ⟺  ey=x\ln x = y \iff e^y = x
  • lg⁡1=0\lg 1 = 0, lg⁡10=1\lg 10 = 1, ln⁡1=0\ln 1 = 0, ln⁡e=1\ln e = 1
  • 10lg⁡x=x10^{\lg x} = x, lg⁡10x=x\lg 10^x = x, eln⁡x=xe^{\ln x} = x, ln⁡ex=x\ln e^x = x
  • Logaritmen finnes bare for x>0x > 0.
  • Logaritmiske skalaer: pH, desibel, Richter.
Oppgaver

Øv selv