Produktregelen og kvotientregelen

Utforsk

Start her: utforsk

Den deriverte av en sum er summen av de deriverte. Er da den deriverte av et produkt lik produktet av de deriverte?

Tenk på en åker som vokser både i bredden og i lengden. Arealet er bredde ganger lengde. Hvor mye vokser arealet på et lite tidssteg?

u v

\Delta t

0,6

Bredden vokser med farten

u' = 1

og høyden med

v' = 0{,}8

, så

\Delta u = 0{,}6

og

\Delta v = 0{,}48

.

Tilvekst i areal: u·Δv = 1,44 + v·Δu = 1,2 + Δu·Δv = 0,288

Hjørnet utgjør 9,8 % av tilveksten. Gjør

\Delta t

liten og se det forsvinne.

Prøv dette:

Se på den nye delen av arealet etter ett tidssteg. Hvilke deler består den av?
Gjør tidssteget mindre og mindre. Hvilken del blir nesten borte, og hvilke blir igjen?
Gjett: Er veksten i arealet bare «veksten i bredden ganger veksten i lengden» (det lille hjørnet)?

Forklaring

Produktregelen

I åkermodellen fikk arealet to striper langs kantene og et lite hjørne. Stripene er bredden ganger tilveksten i lengden, og lengden ganger tilveksten i bredden. Hjørnet forsvant når tidssteget ble lite. Produktet av de deriverte er bare hjørnet, og det er feil svar.

Produktregelen sier:

(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'

Hvorfor? Når $u$ og $v$ endrer seg litt, med $\Delta u$ og $\Delta v$ , blir endringen i arealet

\Delta(uv) = u \cdot \Delta v + v \cdot \Delta u + \Delta u \cdot \Delta v

Del på $\Delta x$ og la $\Delta x \to 0$ . De to første leddene blir $uv' + vu'$ . Det siste leddet, hjørnet, blir $\Delta u \cdot \frac{\Delta v}{\Delta x}$ , som går mot $0 \cdot v' = 0$ .

Modell: Riktig og feil derivasjon

Her er $f(x) = x \cdot e^x$ . Den oransje grafen er riktig derivert, $e^x + xe^x$ . Den lilla er den feilaktige «produktet av de deriverte», $1 \cdot e^x$ . Hvilken passer med stigningen til den blå grafen?

f(x) = xe^x

f'(x) = e^x + xe^x

\text{feil: } e^x

Punktet:

(−1{,}25,\ −0{,}36)

Prøv dette:

Hvor er grafen til $f$ flat? Hvilken av de to andre grafene er 0 der?
Hvorfor er hjørnet $\Delta u \cdot \Delta v$ «mindre enn lite» når $\Delta t$ er liten?

Kvotientregelen

For en brøk bruker vi kvotientregelen:

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}

Legg merke til rekkefølgen i telleren: den deriverte av telleren først. Bytter du rekkefølgen, får du feil fortegn.

Tips: Forenkle først

Noen ganger slipper du reglene. $\frac{x^2 + 1}{x}$ kan skrives $x + x^{-1}$ , som deriveres direkte til $1 - \frac{1}{x^2}$ .

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Produktregelen

Deriver $f(x) = x^2 e^x$ .

u = x^2

og

v = e^x

, så

u' = 2x

og

v' = e^x

.

f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x

.

Faktoriser:

f'(x) = xe^x(2 + x)

. Den faktoriserte formen gjør det lett å finne der

f'(x) = 0

:

x = 0

eller

x = -2

.

Eksempel 2: Produkt med ln

Deriver $g(x) = x \ln x$ .

u = x

,

v = \ln x

,

u' = 1

,

v' = \dfrac{1}{x}

.

g'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1

.

Eksempel 3: Kvotientregelen

Deriver $h(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ .

u = 2x + 1

,

v = x - 3

,

u' = 2

,

v' = 1

.

h'(x) = \dfrac{2(x - 3) - (2x + 1) \cdot 1}{(x - 3)^2}

.

Telleren:

2x - 6 - 2x - 1 = -7

. Altså

h'(x) = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}

.

Siden

h'(x) < 0

for alle

x \neq 3

, synker grafen overalt (på hver side av asymptoten).

Vanlige feil

$(uv)' = u'v'$ . Nei! Riktig er $u'v + uv'$ . Test med $x \cdot x = x^2$ : $u'v' = 1$ , men $(x^2)' = 2x$ .
Feil rekkefølge i kvotientregelen. $\frac{uv' - u'v}{v^2}$ gir feil fortegn.
Å glemme å kvadrere nevneren. Nevneren er $v^2$ , ikke $v$ .
Å gange ut nevneren. La $(x - 3)^2$ stå. Det gjør fortegnsdrøftingen enklere.
Å ikke forenkle telleren. Telleren kan ofte trekkes sammen eller faktoriseres. Det er der fortegnet avgjøres.

Huskelapp

Produktregelen: $(uv)' = u'v + uv'$
Kvotientregelen: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
Den deriverte av et produkt er ikke produktet av de deriverte.
Forenkle før du deriverer når det går an. Faktoriser svaret for å finne nullpunkter.