Derivasjonsregler for polynomer og potenser

Slipp å bruke definisjonen hver gang. Potensregelen, konstanter og summer gjør derivasjon til noe du gjør på sekunder.

R1
Fint å kunne først: Den deriverte som stigningstallPotensregler
Utforsk

Start her: utforsk

Med definisjonen av den deriverte kan du derivere alt, men det tar tid. Finnes det en snarvei? Undersøk hvor bratt grafen til xnx^n er i ulike punkter.

Velg eksponenten og punktet. Den oransje linja er tangenten, og avlesningen viser stigningstallet.

−3−2−1123−8−4481216202428
grafen til xnx^ntangenten
I x=x = 1 er stigningstallet til tangenten 2.

Prøv dette:

  1. Velg eksponent 2. Les av stigningstallet i x=1x = 1, 22 og 33, og skriv dem i en tabell. Hvordan henger stigningstallet sammen med xx?
  2. Gjør det samme med eksponent 3. Tips: Sammenlign stigningstallet med x2x^2.
  3. Gjett stigningstallet for eksponent 4 i x=2x = 2 før du sjekker.
Forklaring

Forklaring

Mønsteret

Tabellene fra utforskingen gir dette mønsteret:

f(x)f(x)xxx2x^2x3x^3x4x^4x5x^5
f′(x)f'(x)112x2x3x23x^24x34x^35x45x^4

For x2x^2 var stigningstallet 22, 44 og 66 i x=1x = 1, 22 og 33, altså 2x2x. For x3x^3 var det 33, 1212 og 2727, altså 3x23x^2. Eksponenten hopper ned foran, og eksponenten blir én mindre. Det er potensregelen.

Reglene

RegelFormelEksempel
Konstant(c)′=0(c)' = 0(7)′=0(7)' = 0
Potensregelen(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}(x5)′=5x4(x^5)' = 5x^4
Konstant faktor(k⋅f)′=k⋅f′(k \cdot f)' = k \cdot f'(3x2)′=3⋅2x=6x(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x
Sum og differanse(f±g)′=f′±g′(f \pm g)' = f' \pm g'(x2+x)′=2x+1(x^2 + x)' = 2x + 1

Samlet kalles dette derivasjonsregleneDerivasjonsreglerRegler som gjør at vi kan derivere uten å bruke definisjonen hver gang, som (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1} og (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'. for polynomer.

Modell: Potensfunksjoner og deres deriverte

Endre koeffisienten aa og eksponenten nn. Den blå grafen er f(x)=axnf(x) = ax^n, den oransje er f′(x)=anxn−1f'(x) = a n x^{n-1}.

−3−2−1123−6−4−2246
f(x)=axnf(x) = ax^nf′(x)=anxn−1f'(x) = anx^{n-1}
f(x)=1x2f(x) = 1x^{2} gir f′(x)=2x1f'(x) = 2x^{1}

Modell: Tangenten flytter seg

Her er f(x)=x3−3x2+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 med f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. Flytt punktet med glidebryteren og se at stigningstallet til tangenten er lik f′(p)f'(p).

−1123−5−4−3−2−11234
f(x)=x3−3x2+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 1tangenttangent
f′(0,5)=3⋅(0,5)2−6⋅(0,5)=−2,25f'(0{,}5) = 3 \cdot (0{,}5)^2 - 6 \cdot (0{,}5) = -2{,}25

Prøv dette:

  1. For hvilke pp er tangenten vannrett? Kontroller ved å løse 3p2−6p=03p^2 - 6p = 0.
  2. I modellen «Potensfunksjoner og deres deriverte»: Hva skjer med den deriverte når n=1n = 1? Hvorfor?

Hvorfor er den deriverte av en konstant 0?

Grafen til f(x)=7f(x) = 7 er en vannrett linje. Den er helt flat overalt, og stigningstallet er 0.

Hvorfor virker potensregelen?

For n=2n = 2 har vi allerede vist det med definisjonen: differansekvotienten ble 2x+h2x + h, som går mot 2x2x. For n=3n = 3:

(x+h)3−x3h=3x2h+3xh2+h3h=3x2+3xh+h2 →h→0 3x2\frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \ \xrightarrow{h \to 0}\ 3x^2

Generelt gir utvidelsen av (x+h)n(x+h)^n alltid leddet nxn−1hn x^{n-1} h, og alle de andre leddene har h2h^2 eller mer, som forsvinner.

Potensregelen gjelder for alle eksponenter

PotensregelenPotensregelen for derivasjonDen deriverte av xnx^n er nxn−1nx^{n-1}: eksponenten flyttes ned foran, og eksponenten blir én mindre. virker også for negative eksponenter og brøkeksponenter. Skriv om først:

1x2=x−2 ⇒ (x−2)′=−2x−3=−2x3\frac{1}{x^2} = x^{-2} \ \Rightarrow\ (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}x=x12 ⇒ (x12)′=12x−12=12x\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \ \Rightarrow\ \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \tfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Skrivemåter

Den deriverte kan skrives på flere måter: f′(x)f'(x), y′y' og dydx\dfrac{dy}{dx}. Den siste kalles Leibniz’ notasjon og minner om brøken ΔyΔx\frac{\Delta y}{\Delta x} som den kommer fra.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Et polynom

Deriver f(x)=4x3−5x2+7x−2f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 7x - 2.

Deriver ledd for ledd (sumregelen): (4x3)′−(5x2)′+(7x)′−(2)′(4x^3)' - (5x^2)' + (7x)' - (2)'.
(4x3)′=4⋅3x2=12x2(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2, (5x2)′=10x(5x^2)' = 10x, (7x)′=7(7x)' = 7 og (2)′=0(2)' = 0.
f′(x)=12x2−10x+7f'(x) = 12x^2 - 10x + 7.
Eksempel 2: Skriv om før du deriverer

Deriver g(x)=3x+2xg(x) = \dfrac{3}{x} + 2\sqrt{x}.

Skriv som potenser: g(x)=3x−1+2x12g(x) = 3x^{-1} + 2x^{\frac{1}{2}}.
g′(x)=3⋅(−1)x−2+2⋅12x−12=−3x−2+x−12g'(x) = 3 \cdot (-1)x^{-2} + 2 \cdot \tfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -3x^{-2} + x^{-\frac{1}{2}}.
Skriv pent: g′(x)=−3x2+1xg'(x) = -\dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}.
Eksempel 3: Stigningstall i et punkt

Finn stigningstallet til tangenten til f(x)=x3−6xf(x) = x^3 - 6x i x=2x = 2.

f′(x)=3x2−6f'(x) = 3x^2 - 6.
f′(2)=3⋅4−6=6f'(2) = 3 \cdot 4 - 6 = 6. Tangenten har stigningstall 6.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å glemme å trekke fra 1 i eksponenten. (x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2, ikke 3x33x^3.
  • Å tro at konstanter «blir igjen». (x2+5)′=2x(x^2 + 5)' = 2x. Konstantleddet forsvinner.
  • Å derivere 1x som 11. Skriv om til x−1x^{-1} først: (x−1)′=−x−2(x^{-1})' = -x^{-2}.
  • Å regne feil med negative eksponenter. −2−1=−3-2 - 1 = -3, ikke −1-1.
  • Å derivere et produkt faktor for faktor. (x2⋅x3)′≠2x⋅3x2(x^2 \cdot x^3)' \neq 2x \cdot 3x^2. Trekk sammen først (x5x^5), eller bruk produktregelen.
Huskelapp

Huskelapp

  • (c)′=0(c)' = 0 og (x)′=1(x)' = 1
  • (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1} for alle reelle nn
  • (k⋅f)′=k⋅f′(k \cdot f)' = k \cdot f'
  • (f±g)′=f′±g′(f \pm g)' = f' \pm g'
  • Skriv 1xn=x−n\frac{1}{x^n} = x^{-n} og xmn=xmn\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} før du deriverer.
Oppgaver

Øv selv