Den deriverte som stigningstall

Utforsk

Start her: utforsk

Speedometeret i en bil viser 80 km/t. Men hva betyr det egentlig å ha farten 80 km/t akkurat nå? Fart er strekning delt på tid. I ett enkelt øyeblikk går det ingen tid, og bilen flytter seg ikke.

En ball triller ned en bakke. Grafen viser hvor langt den har trillet (i meter) etter $t$ sekunder. Hvor fort går ballen akkurat når det har gått 2 sekunder?

strekningen ballen har trilletlinja gjennom de to punktene

Tidspunkt (s)2Lengden på tidsrommet (s)1

Fra 2 s til 3 s triller ballen 10 m på 1 s.

Snittfart i dette tidsrommet: 10 m/s.

Prøv dette:

Gjør tidsrommet kortere og kortere. Hvilket tall nærmer snittfarten seg? Det er farten akkurat etter 2 sekunder.
Hva skjer med den oransje linja når tidsrommet blir veldig kort?
Velg et annet tidspunkt, for eksempel 1 s eller 3 s. Hva blir farten akkurat da? Ser du et mønster?

Forklaring

1. Gjennomsnittlig vekstfart er stigningstallet til en sekant

I ballmodellen regnet du ut snittfarten fra 2 s til 3 s: ballen trillet $2 \cdot 3^2 - 2 \cdot 2^2 = 10$ m på 1 s, altså 10 m/s. Det er stigningstallet til den oransje linja. Når tidsrommet ble kortere, nærmet snittfarten seg 8 m/s.

For en rett linje er svaret enkelt: Linja er like bratt overalt. En kurve er brattere noen steder og slakere andre steder. Spørsmålet blir derfor: Hvor bratt er grafen i ett bestemt punkt?

Velg to punkter på grafen til $f$ , i $x = a$ og $x = b$ . Linja gjennom dem kalles en sekant. Stigningstallet til sekanten er den gjennomsnittlige vekstfarten mellom $a$ og $b$ :

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

2. Skriv avstanden som $h$

La avstanden mellom punktene være $h$ , slik at $b = a + h$ . Da blir stigningstallet

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Dette uttrykket kalles differansekvotienten.

3. La $h$ gå mot 0

Når $h$ blir mindre, glir det andre punktet nærmere $a$ . Sekanten nærmer seg da tangenten, altså linja som bare så vidt berører grafen i punktet. Grenseverdien kaller vi den deriverte av $f$ i $a$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Modell: Fra sekant til tangent

Dra $h$ mot 0, eller trykk på knappen, og følg med på stigningstallet. Nærmer det seg et bestemt tall?

h

1,50Vis tangenten

Stigningstallet til sekanten:

\dfrac{f(1+1{,}50) - f(1)}{1{,}50} \approx \mathbf{3{,}500}

Dra det blå punktet for å flytte deg langs grafen.

Prøv dette:

Med $f(x) = x^2$ og $a = 1$ : Hvilket tall nærmer stigningstallet seg? Prøv $a = 2$ og $a = 3$ også. Ser du et mønster?
Velg $e^x$ . Sammenlign stigningstallet med funksjonsverdien i punktet. Hva oppdager du?

Hva betyr $f'(a)$ ?

Geometrisk: stigningstallet til tangenten i punktet $(a, f(a))$ .
Praktisk: den momentane vekstfarten, altså hvor fort $f$ endrer seg akkurat i $x = a$ .
Enhet: enheten til $y$ per enhet til $x$ . Hvis $f$ er strekning i meter og $x$ er tid i sekunder, er $f'$ fart i m/s.

Modell: Den deriverte er også en funksjon

Hvert punkt på grafen har sitt eget stigningstall. Hvis vi tegner alle stigningstallene som punkter, får vi grafen til en ny funksjon, $f'$ .

f(x) = x^3 - 3x

med tangent

Stigningstall i

x = −1{,}0

: $0{,}00$ – grafen er flat her

Stigningstallet tegnet som punkter

Vis hele

f'

Dra i den øverste grafen. Hvert sted du er innom, legger igjen et punkt i den nederste.

Spørsmål å tenke på:

For $f(x) = x^3 - 3x$ : Hvor er $f'(x) = 0$ ? Hva skjer med grafen til $f$ der?
Hvor er $f'(x)$ negativ? Hva gjør grafen til $f$ da?
Velg ballkastet $h(t) = 20t - 5t^2$ . Når er ballen på det høyeste? Hva er $h'(t)$ da?

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Finn f′(3) med definisjonen

La $f(x) = x^2$ . Bruk definisjonen til å finne $f'(3)$ .

Regn ut

f(3+h)

:

\quad f(3+h) = (3+h)^2 = 9 + 6h + h^2

Trekk fra

f(3) = 9

:

\quad f(3+h) - f(3) = 6h + h^2

Del på

h

(vi har

h \neq 0

):

\quad \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h

La

h \to 0

:

\quad f'(3) = \lim\limits_{h \to 0} (6 + h) = 6

. Tangenten i

(3, 9)

har stigningstall 6.

Eksempel 2: Farten til en ball

En ball kastes rett opp. Høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = 20t - 5t^2$ meter. Finn farten etter 1 sekund.

Farten er den momentane vekstfarten til høyden, altså

h'(1)

.

h(1) = 20 - 5 = 15

og

h(1 + \Delta t) = 20(1+\Delta t) - 5(1+\Delta t)^2 = 15 + 10\Delta t - 5(\Delta t)^2

\dfrac{h(1+\Delta t) - h(1)}{\Delta t} = \dfrac{10\Delta t - 5(\Delta t)^2}{\Delta t} = 10 - 5\Delta t

h'(1) = \lim\limits_{\Delta t \to 0}(10 - 5\Delta t) = 10

. Ballen er på vei opp med farten 10 m/s.

Eksempel 3: Numerisk tilnærming

Finn en tilnærmet verdi for $f'(1)$ når $f(x) = e^x$ , ved å bruke $h = 0{,}001$ .

\dfrac{f(1{,}001) - f(1)}{0{,}001} = \dfrac{e^{1{,}001} - e}{0{,}001}

Med kalkulator eller Python får vi

\approx 2{,}7196

.

Den eksakte verdien er

f'(1) = e \approx 2{,}7183

. Tilnærmingen er god, og den blir bedre jo mindre

h

vi velger.

Vanlige feil

Å sette $h = 0$ med en gang. Da får du 00. Du må forenkle uttrykket og forkorte bort $h$ før du lar $h$ gå mot 0.
Å glemme parentesen. $(a + h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$ , ikke $a^2 + h^2$ .
Å blande $f'(a)$ og $f(a)$ . $f(a)$ er høyden til grafen. $f'(a)$ er brattheten.
Å blande gjennomsnittlig og momentan vekstfart. Den første hører til en sekant over et intervall. Den andre hører til en tangent i ett punkt.
Å tro at alle funksjoner kan deriveres overalt. $f(x) = |x|$ har en spiss i $x = 0$ . Der finnes ingen entydig tangent, og $f'(0)$ eksisterer ikke.

Huskelapp

Gjennomsnittlig vekstfart fra $a$ til $b$ : $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ , som er stigningstallet til sekanten.
Definisjonen av den deriverte: $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$
$f'(a)$ er stigningstallet til tangenten, og den momentane vekstfarten i $x = a$ .
$f'(a) > 0$ : grafen stiger. $f'(a) < 0$ : grafen synker. $f'(a) = 0$ : grafen er flat (mulig topp- eller bunnpunkt).
Enhet: enheten til $y$ per enhet til $x$ .