Koordinater og vektorer i rommet

Tre akser og tre koordinater. Vektorregning fungerer akkurat som i planet, bare med én koordinat til.

R2
Fint å kunne først: Vektorer på koordinatformVektorbegrepetPytagoras' setning
Utforsk

Start her: utforsk

Se på et hjørne nede ved gulvet i klasserommet. Der møtes tre kanter: to langs gulvet og én rett opp mot taket. En flue svever et sted i rommet. Hvor mange tall trenger du for å fortelle nøyaktig hvor den er?

Hjørnet er i midten av figuren. Flytt fluen med glidebryterne, og dra i figuren for å se den fra flere kanter.

x1234y1234z1234
Dra i figuren for å rotere.

Prøv dette:

  1. Trykk på «Skrått» og se på fluen uten å dra. Kan du avgjøre hvor den er bare fra tegningen? Hvorfor ikke?
  2. Sett høyden til 0. Hvor er fluen nå? Se ovenfra.
  3. Hvor er fluen når de to første tallene er 0? Hvorfor er to tall ikke nok?
Forklaring

Forklaring

Tre akser

For å fortelle hvor fluen er, trenger du tre tall: hvor langt ut langs den ene veggen, hvor langt ut langs den andre, og hvor høyt over gulvet. To tall er ikke nok, for da vet du bare hvor fluen er over gulvet. Kantene er aksene, og hjørnet er origo.

Et koordinatsystem i rommetKoordinatsystem i rommetTre akser (xx, yy og zz) som står vinkelrett på hverandre og møtes i origo. Et punkt har tre koordinater, P(x,y,z)P(x, y, z). har tre akser som står vinkelrett på hverandre og møtes i origo OO:

  • xx-aksen peker mot deg (skrått ned mot venstre på tegningen),
  • yy-aksen peker mot høyre,
  • zz-aksen peker rett opp.

Et punkt har tre koordinater, P(x,y,z)P(x, y, z). Punktet P(3,2,4)P(3, 2, 4) finner du ved å gå 3 langs xx-aksen, 2 parallelt med yy-aksen og 4 rett opp.

Aksene er valgt etter høyrehåndsregelen: Pek pekefingeren på høyre hånd langs xx-aksen og langfingeren langs yy-aksen. Da peker tommelen langs zz-aksen.

Koordinatplanene

To og to akser utspenner et plan:

PlanetBestår av punktene der
xyxy-planet («gulvet»)z=0z = 0
xzxz-planety=0y = 0
yzyz-planetx=0x = 0

Vektorer i rommet

En vektor i rommet har tre koordinater: u⃗=[x,y,z]\vec u = [x, y, z]. Vektoren fra A(x1,y1,z1)A(x_1, y_1, z_1) til B(x2,y2,z2)B(x_2, y_2, z_2) er, som i planet, «slutt minus start»:

AB⃗=[x2−x1, y2−y1, z2−z1]\vec{AB} = [x_2 - x_1,\ y_2 - y_1,\ z_2 - z_1]

Alle regnereglene fra planet gjelder fortsatt. Vi regner koordinat for koordinat:

[x1,y1,z1]+[x2,y2,z2]=[x1+x2, y1+y2, z1+z2][x_1, y_1, z_1] + [x_2, y_2, z_2] = [x_1 + x_2,\ y_1 + y_2,\ z_1 + z_2]t⋅[x,y,z]=[tx, ty, tz]t \cdot [x, y, z] = [tx,\ ty,\ tz]

To vektorer er parallelleParallelle vektorerTo vektorer er parallelle hvis den ene er et tall ganger den andre: u⃗=t⋅v⃗\vec u = t \cdot \vec v. når den ene er et tall ganger den andre: u⃗=t⋅v⃗\vec u = t \cdot \vec v.

Modell: Summen av to vektorer

Summen finner du med «spissen til halen», akkurat som i planet. De to vektorene og summen ligger i samme plan, parallellogrammet.

x1234y1234z1234
Dra i figuren for å rotere.
u⃗+v⃗=[1,3,0]+[−1,1,3]=[0,4,3]\vec u + \vec v = [1, 3, 0] + [-1, 1, 3] = [0, 4, 3]

Lengden av en vektor

Tenk på u⃗=[x,y,z]\vec u = [x, y, z] som diagonalen i en eske med sider xx, yy og zz. Vi bruker Pytagoras to ganger:

  1. Diagonalen i bunnen av esken har lengde x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}.
  2. Den diagonalen og høyden zz er katetene i en ny rettvinklet trekant. Hypotenusen er u⃗\vec u.
∣u⃗∣=(x2+y2)2+z2=x2+y2+z2|\vec u| = \sqrt{\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

Avstanden mellom to punkter er lengden av vektoren mellom dem: ∣AB∣=∣AB⃗∣|AB| = |\vec{AB}|.

Modell: Pytagoras to ganger

Den oransje linja er diagonalen i bunnen av esken. Den grønne er høyden. Sammen med den blå vektoren danner de en rettvinklet trekant.

x1234y1234z1234
Dra i figuren for å rotere.
Diagonalen i bunnen: 22+32=13≈3,61\sqrt{ 2^2 + 3^2 } = \sqrt{ 13 } \approx 3{,}61
Vektoren: ∣u⃗∣=22+32+42=29≈5,39|\vec u| = \sqrt{ 2^2 + 3^2 + 4^2 } = \sqrt{ 29 } \approx 5{,}39

Prøv dette: Finn en eske med heltallige sider der også ∣u⃗∣|\vec u| blir et helt tall. (Tips: prøv a=2a = 2, b=3b = 3 og c=6c = 6 i hodet.)

Midtpunkt

Midtpunktet mellom AA og BB har gjennomsnittet av koordinatene:

M(x1+x22, y1+y22, z1+z22)M\left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Vektor og avstand

Finn AB⃗\vec{AB} og avstanden mellom A(1,2,−1)A(1, 2, -1) og B(3,−1,5)B(3, -1, 5).

Slutt minus start: AB⃗=[3−1, −1−2, 5−(−1)]=[2,−3,6]\vec{AB} = [3 - 1,\ -1 - 2,\ 5 - (-1)] = [2, -3, 6].
∣AB⃗∣=22+(−3)2+62=4+9+36=49=7|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7.
Eksempel 2: Regn med vektorer

La u⃗=[1,0,2]\vec u = [1, 0, 2] og v⃗=[−1,2,1]\vec v = [-1, 2, 1]. Finn 2u⃗−3v⃗2\vec u - 3\vec v.

2u⃗=[2,0,4]2\vec u = [2, 0, 4] og 3v⃗=[−3,6,3]3\vec v = [-3, 6, 3].
2u⃗−3v⃗=[2−(−3), 0−6, 4−3]=[5,−6,1]2\vec u - 3\vec v = [2 - (-3),\ 0 - 6,\ 4 - 3] = [5, -6, 1].
Eksempel 3: Parallelle vektorer

Er u⃗=[2,−4,6]\vec u = [2, -4, 6] og v⃗=[−3,6,−9]\vec v = [-3, 6, -9] parallelle?

Finnes det et tall tt slik at v⃗=t⋅u⃗\vec v = t \cdot \vec u? Første koordinat gir −3=2t-3 = 2t, altså t=−1,5t = -1{,}5.
Sjekk de andre: −1,5⋅(−4)=6-1{,}5 \cdot (-4) = 6 og −1,5⋅6=−9-1{,}5 \cdot 6 = -9. Begge stemmer.
Ja, v⃗=−1,5 u⃗\vec v = -1{,}5\,\vec u. Vektorene er parallelle, men peker motsatt vei.
Eksempel 4: Det fjerde hjørnet

A(1,0,2)A(1, 0, 2), B(3,1,0)B(3, 1, 0) og C(4,4,1)C(4, 4, 1) er tre hjørner i parallellogrammet ABCDABCD. Finn DD.

I et parallellogram er AD⃗=BC⃗\vec{AD} = \vec{BC}.
BC⃗=[4−3, 4−1, 1−0]=[1,3,1]\vec{BC} = [4 - 3,\ 4 - 1,\ 1 - 0] = [1, 3, 1].
D=A+BC⃗D = A + \vec{BC}: D(1+1, 0+3, 2+1)=D(2,3,3)D(1 + 1,\ 0 + 3,\ 2 + 1) = D(2, 3, 3).
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å tro på tegningen. Et punkt på en tegning kan høre til uendelig mange punkter i rommet. Les av koordinatene med hjelpelinjer, aldri «på øyemål».
  • Feil rekkefølge. AB⃗\vec{AB} er B−AB - A, ikke A−BA - B. Bytter du om, får du vektoren som peker motsatt vei.
  • Å glemme en koordinat. Lengden er x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. Det er lett å glemme z2z^2 når man er vant til planet.
  • Fortegn i kvadratet. (−3)2=9(-3)^2 = 9, ikke −9-9. Et kvadrat er aldri negativt.
  • Parallell ved bare én koordinat. For å vise at vektorer er parallelle må samme tall tt passe for alle tre koordinatene.
Huskelapp

Huskelapp

  • Punkt: P(x,y,z)P(x, y, z). Vektor: u⃗=[x,y,z]\vec u = [x, y, z].
  • AB⃗=[x2−x1, y2−y1, z2−z1]\vec{AB} = [x_2 - x_1,\ y_2 - y_1,\ z_2 - z_1]
  • Regn koordinat for koordinat: u⃗+v⃗\vec u + \vec v, u⃗−v⃗\vec u - \vec v, tu⃗t\vec u.
  • ∣u⃗∣=x2+y2+z2|\vec u| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
  • Parallelle: u⃗=t⋅v⃗\vec u = t \cdot \vec v.
  • Midtpunkt: gjennomsnittet av koordinatene.
Oppgaver

Øv selv