Forklaring Samme definisjon som i planet For solcellepanelet var det vinkelen mellom to retninger i rommet som avgjorde alt: 100 % ved 0 ° 0° 0° 60 ° 60° 60° 90 ° 90° 90° cos θ \cos\theta cos θ
SkalarproduktetSkalarprodukt Et tall laget av to vektorer: u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∣ u ⃗ ∣ ∣ v ⃗ ∣ cos θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2 u ⋅ v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 av u ⃗ \vec u u v ⃗ \vec v v θ \theta θ
u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∣ u ⃗ ∣ ⋅ ∣ v ⃗ ∣ ⋅ cos θ \vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos\theta u ⋅ v = ∣ u ∣ ⋅ ∣ v ∣ ⋅ cos θ To vektorer i rommet ligger alltid i et felles plan (gjennom origo, når vi tegner dem derfra). Vinkelen θ \theta θ 0 ° 0° 0° 180 ° 180° 180°
For u ⃗ = [ x 1 , y 1 , z 1 ] \vec u = [x_1, y_1, z_1] u = [ x 1 , y 1 , z 1 ] v ⃗ = [ x 2 , y 2 , z 2 ] \vec v = [x_2, y_2, z_2] v = [ x 2 , y 2 , z 2 ]
u ⃗ ⋅ v ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 \vec u \cdot \vec v = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 u ⋅ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Les mer Hvorfor gir de to formlene det samme?Tegn u ⃗ \vec u u v ⃗ \vec v v v ⃗ − u ⃗ \vec v - \vec u v − u
∣ v ⃗ − u ⃗ ∣ 2 = ∣ u ⃗ ∣ 2 + ∣ v ⃗ ∣ 2 − 2 ∣ u ⃗ ∣ ∣ v ⃗ ∣ cos θ |\vec v - \vec u|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2|\vec u||\vec v|\cos\theta ∣ v − u ∣ 2 = ∣ u ∣ 2 + ∣ v ∣ 2 − 2∣ u ∣∣ v ∣ cos θ Venstresiden på koordinatform er
( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 = x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ⏟ ∣ u ⃗ ∣ 2 + x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 ⏟ ∣ v ⃗ ∣ 2 − 2 ( x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = \underbrace{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}_{|\vec u|^2} + \underbrace{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}_{|\vec v|^2} - 2(x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2) ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 = ∣ u ∣ 2 x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + ∣ v ∣ 2 x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 − 2 ( x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) Sammenligner vi de to uttrykkene, står ∣ u ⃗ ∣ 2 + ∣ v ⃗ ∣ 2 |\vec u|^2 + |\vec v|^2 ∣ u ∣ 2 + ∣ v ∣ 2
∣ u ⃗ ∣ ∣ v ⃗ ∣ cos θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 |\vec u||\vec v|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Vinkler og vinkelrette vektorer Kombinerer vi formlene, får vi vinkelen:
cos θ = u ⃗ ⋅ v ⃗ ∣ u ⃗ ∣ ⋅ ∣ v ⃗ ∣ \cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|} cos θ = ∣ u ∣ ⋅ ∣ v ∣ u ⋅ v Fortegnet forteller om vinkelen: positivt gir spiss vinkel, negativt gir stump vinkel. To vektorer (ikke nullvektoren) er vinkelretteVinkelrette vektorer To vektorer står vinkelrett på hverandre nøyaktig når skalarproduktet er 0. nøyaktig når
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \vec u \cdot \vec v = 0 u ⋅ v = 0 I rommet finnes det uendelig mange retninger som står vinkelrett på en gitt vektor. Alle sammen ligger i et plan. Det skal vi bruke når vi lager likninger for plan.
Projeksjon Hvor mye av v ⃗ \vec v v u ⃗ \vec u u projeksjonenProjeksjon Projeksjonen av v ⃗ \vec v v u ⃗ \vec u u v ⃗ \vec v v u ⃗ \vec u u av v ⃗ \vec v v u ⃗ \vec u u v ⃗ \vec v v u ⃗ \vec u u ∣ v ⃗ ∣ cos θ |\vec v|\cos\theta ∣ v ∣ cos θ ∣ u ⃗ ∣ ∣ u ⃗ ∣ \frac{|\vec u|}{|\vec u|} ∣ u ∣ ∣ u ∣
∣ v ⃗ ∣ cos θ = ∣ u ⃗ ∣ ∣ v ⃗ ∣ cos θ ∣ u ⃗ ∣ = u ⃗ ⋅ v ⃗ ∣ u ⃗ ∣ |\vec v|\cos\theta = \frac{|\vec u||\vec v|\cos\theta}{|\vec u|} = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|} ∣ v ∣ cos θ = ∣ u ∣ ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ = ∣ u ∣ u ⋅ v Projeksjonen som vektor får vi ved å gange lengden med en enhetsvektor i retning u ⃗ \vec u u
v ⃗ u ⃗ = u ⃗ ⋅ v ⃗ ∣ u ⃗ ∣ 2 u ⃗ \vec v_{\vec u} = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|^2}\, \vec u v u = ∣ u ∣ 2 u ⋅ v u Modell: Vinkelen og projeksjonen Den blå vektoren u ⃗ = [ 3 , 1 , 0 ] \vec u = [3, 1, 0] u = [ 3 , 1 , 0 ] x y xy x y v ⃗ \vec v v v ⃗ \vec v v u ⃗ \vec u u
Dra i figuren for å rotere. Skrått Ovenfra (xy) Forfra (yz) Fra siden (xz)
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 3 ⋅ ( 1 ) + 1 ⋅ ( 2 ) + 0 ⋅ ( 2 ) = 5 \vec u \cdot \vec v = 3 \cdot (1) + 1 \cdot (2) + 0 \cdot (2) = 5 u ⋅ v = 3 ⋅ ( 1 ) + 1 ⋅ ( 2 ) + 0 ⋅ ( 2 ) = 5 ∣ u ⃗ ∣ = 10 ≈ 3,16 |\vec u| = \sqrt{10} \approx 3{,}16 ∣ u ∣ = 10 ≈ 3 , 16 og
∣ v ⃗ ∣ = 9 ≈ 3 |\vec v| = \sqrt{ 9 } \approx 3 ∣ v ∣ = 9 ≈ 3 Vinkelen:
cos θ = 5 10 ⋅ 9 \cos\theta = \dfrac{ 5 }{ \sqrt{10} \cdot \sqrt{ 9 } } cos θ = 10 ⋅ 9 5 , så
θ ≈ 58,2 ° \theta \approx 58{,}2° θ ≈ 58 , 2° Prøv dette:
Finn en v ⃗ \vec v v u ⃗ \vec u u ikke ligger i x y xy x y
Endre bare r r r
Få vinkelen over 90 ° 90° 90°
Regneregler
u ⃗ ⋅ v ⃗ = v ⃗ ⋅ u ⃗ \vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u u ⋅ v = v ⋅ u u ⃗ ⋅ u ⃗ = ∣ u ⃗ ∣ 2 \vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 u ⋅ u = ∣ u ∣ 2 u ⃗ ⋅ ( v ⃗ + w ⃗ ) = u ⃗ ⋅ v ⃗ + u ⃗ ⋅ w ⃗ \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w u ⋅ ( v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w ( t u ⃗ ) ⋅ v ⃗ = t ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) (t\vec u) \cdot \vec v = t(\vec u \cdot \vec v) ( t u ) ⋅ v = t ( u ⋅ v ) For læreren · Aktivitet i klasserommet
Grillspydkuben
Elevene bygger en terning av grillspyd og modellleire (eller sugerør og piperensere), og legger inn en romdiagonal. De måler vinkelen mellom romdiagonalen og en kant med gradskive, og regner den ut med skalarproduktet: [ 1 , 1 , 1 ] ⋅ [ 1 , 0 , 0 ] = 1 [1, 1, 1] \cdot [1, 0, 0] = 1 [ 1 , 1 , 1 ] ⋅ [ 1 , 0 , 0 ] = 1 cos θ = 1 3 \cos\theta = \frac{1}{\sqrt 3} cos θ = 3 1 θ ≈ 54,7 ° \theta \approx 54{,}7° θ ≈ 54 , 7°
Gjennomgåtte eksempler Eksempel 1: Vinkelen mellom to vektorer
Finn vinkelen mellom u ⃗ = [ 1 , 2 , 2 ] \vec u = [1, 2, 2] u = [ 1 , 2 , 2 ] v ⃗ = [ 2 , − 1 , 2 ] \vec v = [2, -1, 2] v = [ 2 , − 1 , 2 ]
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ 2 = 4 \vec u \cdot \vec v = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 4 u ⋅ v = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ 2 = 4 .
∣ u ⃗ ∣ = 1 + 4 + 4 = 3 |\vec u| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 ∣ u ∣ = 1 + 4 + 4 = 3 og
∣ v ⃗ ∣ = 4 + 1 + 4 = 3 |\vec v| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3 ∣ v ∣ = 4 + 1 + 4 = 3 .
cos θ = 4 3 ⋅ 3 = 4 9 \cos\theta = \dfrac{4}{3 \cdot 3} = \dfrac{4}{9} cos θ = 3 ⋅ 3 4 = 9 4 , så
θ ≈ 63,6 ° \theta \approx 63{,}6° θ ≈ 63 , 6° .
Vis neste trinn Vis alle
Eksempel 2: Vinkelrette vektorer
Bestem t t t [ t , 2 , − 1 ] [t, 2, -1] [ t , 2 , − 1 ] [ 3 , t , 4 ] [3, t, 4] [ 3 , t , 4 ]
Vinkelrett betyr skalarprodukt 0:
3 t + 2 t + ( − 1 ) ⋅ 4 = 0 3t + 2t + (-1) \cdot 4 = 0 3 t + 2 t + ( − 1 ) ⋅ 4 = 0 .
5 t = 4 5t = 4 5 t = 4 , så
t = 0,8 t = 0{,}8 t = 0 , 8 .
Vis neste trinn Vis alle
Eksempel 3: En vinkel i en trekant
En trekant har hjørnene A ( 1 , 0 , 0 ) A(1, 0, 0) A ( 1 , 0 , 0 ) B ( 0 , 2 , 0 ) B(0, 2, 0) B ( 0 , 2 , 0 ) C ( 0 , 0 , 3 ) C(0, 0, 3) C ( 0 , 0 , 3 ) ∠ A \angle A ∠ A
Vinkelen i
A A A er vinkelen mellom
A B ⃗ \vec{AB} A B og
A C ⃗ \vec{AC} A C . Begge må starte i
A A A .
A B ⃗ = [ − 1 , 2 , 0 ] \vec{AB} = [-1, 2, 0] A B = [ − 1 , 2 , 0 ] og
A C ⃗ = [ − 1 , 0 , 3 ] \vec{AC} = [-1, 0, 3] A C = [ − 1 , 0 , 3 ] .
A B ⃗ ⋅ A C ⃗ = 1 + 0 + 0 = 1 \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 + 0 + 0 = 1 A B ⋅ A C = 1 + 0 + 0 = 1 ,
∣ A B ⃗ ∣ = 5 |\vec{AB}| = \sqrt 5 ∣ A B ∣ = 5 og
∣ A C ⃗ ∣ = 10 |\vec{AC}| = \sqrt{10} ∣ A C ∣ = 10 .
cos A = 1 5 ⋅ 10 = 1 50 \cos A = \dfrac{1}{\sqrt 5 \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{50}} cos A = 5 ⋅ 10 1 = 50 1 , så
∠ A ≈ 81,9 ° \angle A \approx 81{,}9° ∠ A ≈ 81 , 9° .
Vis neste trinn Vis alle
Eksempel 4: Projeksjon
Finn projeksjonen av v ⃗ = [ 4 , 1 , 3 ] \vec v = [4, 1, 3] v = [ 4 , 1 , 3 ] u ⃗ = [ 2 , 0 , 1 ] \vec u = [2, 0, 1] u = [ 2 , 0 , 1 ]
u ⃗ ⋅ v ⃗ = 8 + 0 + 3 = 11 \vec u \cdot \vec v = 8 + 0 + 3 = 11 u ⋅ v = 8 + 0 + 3 = 11 og
∣ u ⃗ ∣ 2 = 4 + 0 + 1 = 5 |\vec u|^2 = 4 + 0 + 1 = 5 ∣ u ∣ 2 = 4 + 0 + 1 = 5 .
v ⃗ u ⃗ = 11 5 [ 2 , 0 , 1 ] = [ 4,4 ; 0 ; 2,2 ] \vec v_{\vec u} = \dfrac{11}{5}[2, 0, 1] = [4{,}4;\ 0;\ 2{,}2] v u = 5 11 [ 2 , 0 , 1 ] = [ 4 , 4 ; 0 ; 2 , 2 ] .
Lengden av projeksjonen er
11 5 ≈ 4,92 \dfrac{11}{\sqrt 5} \approx 4{,}92 5 11 ≈ 4 , 92 .
Vis neste trinn Vis alle