Vektorer på koordinatform

Vektorer som tallpar. Vektoren mellom to punkter, regning med koordinater, lengde, avstand og midtpunkt.

R1
Fint å kunne først: VektorbegrepetPytagoras' setning
Utforsk

Start her: utforsk

I en by med rutenett av gater kan du forklare veien med to tall: «Gå tre kvartaler øst og to nord.» Hvordan finner du tallene, og hva hvis du skal vest eller sør?

Rutene er kvartaler. Dra i start og mål.

−6−5−4−3−2−112345678−4−3−2−1123456
Bortover: 3 kvartaler (positivt er øst, negativt er vest).
Oppover: 2 kvartaler (positivt er nord, negativt er sør).
Rett linje fra start til mål: 3,61 kvartaler.

Prøv dette:

  1. Hvordan finner du de to tallene fra koordinatene til start og mål?
  2. Flytt både start og mål like mye til høyre. Endrer de to tallene seg?
  3. Lag en tur som går vestover og sørover. Hvilke fortegn får tallene?
  4. Hvor lang er den rette linja fra start til mål når du går 3 øst og 4 nord?
Forklaring

Forklaring

Koordinatform

«Tre kvartaler øst og to nord» er en forflytning beskrevet med to tall: hvor langt bortover og hvor langt oppover. Det er akkurat hva en vektor på koordinatform er. Når vektorene er tallpar, kan vi regne med dem i stedet for å tegne og måle. Summer, lengder og vinkler blir ren aritmetikk.

En vektorVektorEn størrelse med både lengde og retning, tegnet som en pil. Eksempler er forflytning, fart og kraft. skrives u⃗=[x,y]\vec u = [x, y]: xx enheter bortover og yy enheter oppover. Tallene xx og yy kalles vektorens koordinater.

Vektoren mellom to punkter

Fra A(x1,y1)A(x_1, y_1) til B(x2,y2)B(x_2, y_2) er

AB⃗=[x2−x1, y2−y1]\vec{AB} = [x_2 - x_1,\ y_2 - y_1]

«Endepunkt minus startpunkt», koordinat for koordinat. Koordinatene forteller bare hvor langt pila går sidelengs (Δx\Delta x) og opp eller ned (Δy\Delta y), ikke hvor den starter. To piler med samme koordinater er samme vektor, uansett hvor de er tegnet.

Modell: Fra to punkter til en vektor

Dra i punktene AA og BB. De grå pilene er kopier av den samme vektoren, tegnet andre steder. Lengden får du fra den rettvinklede trekanten.

−8−7−6−5−4−3−2−1123456789−5−4−3−2−1123456
AB⃗=[xB−xA, yB−yA]=[3−(−2), 4−1]=[5,3]\vec{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A] = [3 - (-2),\ 4 - 1] = [5, 3]
∣AB⃗∣=52+32=34≈5,83|\vec{AB}| = \sqrt{ 5^2 + 3^2 } = \sqrt{ 34 } \approx 5{,}83
Motsatt vektor: BA⃗=[−5,−3]\vec{BA} = [-5, -3]. Samme lengde, motsatt retning.

Prøv dette:

  1. Dra AA til et punkt med negative koordinater. Sjekk utregningen: Står de negative tallene i parentes?
  2. Flytt både AA og BB like mye til høyre. Hva skjer med AB⃗\vec{AB}?
  3. Finn to punkter med avstand 5 som ikke ligger på samme vannrette eller loddrette linje. (Hint: 32+42=253^2 + 4^2 = 25.)

Regning med koordinater

For u⃗=[x1,y1]\vec u = [x_1, y_1], v⃗=[x2,y2]\vec v = [x_2, y_2] og et tall kk:

u⃗+v⃗=[x1+x2, y1+y2]u⃗−v⃗=[x1−x2, y1−y2]ku⃗=[kx1, ky1]\vec u + \vec v = [x_1 + x_2,\ y_1 + y_2] \qquad \vec u - \vec v = [x_1 - x_2,\ y_1 - y_2] \qquad k\vec u = [kx_1,\ ky_1]

Lengde og avstand

Pytagoras gir lengdenLengden av en vektorLengden (absoluttverdien) av u⃗=[x,y]\vec u = [x, y] er ∣u⃗∣=x2+y2|\vec u| = \sqrt{x^2 + y^2}, fra Pytagoras.:

∣u⃗∣=x2+y2|\vec u| = \sqrt{x^2 + y^2}

Avstanden mellom to punkter er lengden av vektoren mellom dem: ∣AB⃗∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

Parallelle vektorer

u⃗\vec u og v⃗\vec v er parallelleParallelle vektorerTo vektorer er parallelle hvis den ene er et tall ganger den andre: u⃗=t⋅v⃗\vec u = t \cdot \vec v. når u⃗=t⋅v⃗\vec u = t \cdot \vec v for et tall tt. Dette har et eget deltema: Parallelle vektorer og punkter på linje.

Midtpunkt

Midtpunktet MM mellom AA og BB har koordinatene

M=(x1+x22, y1+y22)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Vektor og avstand

Finn AB⃗\vec{AB} og avstanden mellom A(1,2)A(1, 2) og B(4,6)B(4, 6).

AB⃗=[4−1, 6−2]=[3,4]\vec{AB} = [4 - 1,\ 6 - 2] = [3, 4].
∣AB⃗∣=32+42=25=5|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.
Eksempel 2: Regning

La u⃗=[1,−2]\vec u = [1, -2] og v⃗=[3,1]\vec v = [3, 1]. Finn 2u⃗−3v⃗2\vec u - 3\vec v.

2u⃗=[2,−4]2\vec u = [2, -4] og 3v⃗=[9,3]3\vec v = [9, 3].
2u⃗−3v⃗=[2−9, −4−3]=[−7,−7]2\vec u - 3\vec v = [2 - 9,\ -4 - 3] = [-7, -7].
Eksempel 3: Parallellogram

A(0,0)A(0, 0), B(4,1)B(4, 1) og D(1,3)D(1, 3) er tre hjørner i parallellogrammet ABCDABCD. Finn CC.

I et parallellogram er DC⃗=AB⃗=[4,1]\vec{DC} = \vec{AB} = [4, 1].
C=D+AB⃗=(1+4, 3+1)=(5,4)C = D + \vec{AB} = (1 + 4,\ 3 + 1) = (5, 4).
Vanlige feil

Vanlige feil

  • «Start minus slutt». AB⃗\vec{AB} er B−AB - A, ikke A−BA - B. Feil rekkefølge gir motsatt vektor.
  • ∣[3,4]∣=3+4=7|[3, 4]| = 3 + 4 = 7. Lengden er 32+42=5\sqrt{3^2 + 4^2} = 5.
  • Å glemme å kvadrere negative koordinater riktig. (−3)2=9(-3)^2 = 9, ikke −9-9.
  • Å blande punkt og vektor. Et punkt (x,y)(x, y) er en plassering. En vektor [x,y][x, y] er en forflytning.
Huskelapp

Huskelapp

  • AB⃗=[x2−x1, y2−y1]\vec{AB} = [x_2 - x_1,\ y_2 - y_1]
  • Regn koordinat for koordinat: u⃗±v⃗\vec u \pm \vec v og ku⃗k\vec u.
  • ∣[x,y]∣=x2+y2|[x, y]| = \sqrt{x^2 + y^2}
  • Midtpunkt: (x1+x22,y1+y22)\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
Oppgaver

Øv selv