Vektorbegrepet

Størrelser med både lengde og retning. Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon med tall, geometrisk.

R1
Fint å kunne først: Pytagoras' setningKoordinatsystemet
Utforsk

Start her: utforsk

Du er på tur og går i to etapper. Først går du et stykke i én retning, så et stykke i en annen. Hvor havner du, og hvor langt er det tilbake til start?

Hver rute er 1 km. Dra i endepunktet for hver etappe.

−4−3−2−112345678−3−2−1123456
Etappe 1: 3 km. Etappe 2: 4 km.
Til sammen gått: 7 km. Avstand fra start (grønn): 5 km.

Prøv dette:

  1. Gå 3 km øst og så 4 km nord. Hvor langt er du fra start? Er det 7 km?
  2. Når blir avstanden fra start like lang som det du har gått til sammen?
  3. Kan du gå to etapper og havne akkurat der du startet?
  4. «Gå 3 km.» Er det nok til å vite hvor du havner? Hva mer trenger du å vite?
Forklaring

Forklaring

Hva er en vektor?

«Gå tre kilometer.» Hvor havner du? Det er umulig å si. Du trenger også en retning: tre kilometer nordover. Mange størrelser trenger både et tall og en retning: hvor du flytter deg, hvor fort og hvilken vei vinden blåser, hvilken vei en kraft drar. Slike størrelser kalles vektorer, og vi tegner dem som piler. Lengden av pila er størrelsen, og pila peker i retningen. Størrelser som bare har et tall, som temperatur, tid og masse, kalles skalarer.

En vektorVektorEn størrelse med både lengde og retning, tegnet som en pil. Eksempler er forflytning, fart og kraft. er bestemt av lengde og retning. Vi skriver u⃗\vec u, eller AB⃗\vec{AB} for pila fra punktet AA til punktet BB.

  • To vektorer er like hvis de har samme lengde og retning, uansett hvor de er tegnet.
  • Lengden skrives ∣u⃗∣|\vec u|.
  • Nullvektoren 0⃗\vec 0 har lengde 0.
  • Den motsatte vektoren −u⃗-\vec u har samme lengde, men motsatt retning.

Addisjon: hode til hale

På turen var den grønne pila snarveien fra start til mål: summen av de to etappene. Med 3 km øst og 4 km nord ble den 5 km lang, ikke 7. For å finne summenSum av vektorerVektorer legges sammen ved å plassere dem etter hverandre (hode til hale). Summen er pila fra start til slutt. u⃗+v⃗\vec u + \vec v tegner vi v⃗\vec v med start der u⃗\vec u slutter. Summen er pila fra starten av u⃗\vec u til slutten av v⃗\vec v. Det er som to forflytninger etter hverandre.

Tegner du begge fra samme punkt, er summen diagonalen i parallellogrammet de spenner ut.

Modell: Sum, differanse og tall ganger vektor

Velg hva du vil se, og dra i spissene til u⃗\vec u og v⃗\vec v. Prøv å forutsi hvor den grønne pila havner før du drar.

−6−5−4−3−2−1123456789−4−3−2−1123456
u⃗+v⃗=[4+1, 1+3]=[5,4]\vec u + \vec v = [4 + 1,\ 1 + 3] = [5, 4]
Gå langs u⃗\vec u og så langs v⃗\vec v. Den grønne pila er snarveien. Går du andre veien rundt (stiplet), havner du samme sted, så u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec u + \vec v = \vec v + \vec u.

Prøv dette:

  1. Kan ∣u⃗+v⃗∣|\vec u + \vec v| bli større enn ∣u⃗∣+∣v⃗∣|\vec u| + |\vec v|? Når blir de like?
  2. Lag u⃗−v⃗=0⃗\vec u - \vec v = \vec 0. Hvor må spissene være?
  3. Hva skjer med t⋅u⃗t \cdot \vec u når t=0t = 0? Og når t=−1t = -1?

Subtraksjon

u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec u - \vec v = \vec u + (-\vec v). Starter begge vektorene i samme punkt, går u⃗−v⃗\vec u - \vec v fra spissen av v⃗\vec v til spissen av u⃗\vec u.

Multiplikasjon med et tall

k⋅u⃗k \cdot \vec u er en vektor som er ∣k∣|k| ganger så lang som u⃗\vec u. Er kk positiv, peker den samme vei. Er kk negativ, peker den motsatt vei.

To vektorer er parallelleParallelle vektorerTo vektorer er parallelle hvis den ene er et tall ganger den andre: u⃗=t⋅v⃗\vec u = t \cdot \vec v. hvis den ene er et tall ganger den andre: u⃗=t⋅v⃗\vec u = t \cdot \vec v.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Båt i strøm

En båt kjører med 4 m/s rett nordover i vannet, mens strømmen går 3 m/s østover. Hvor fort går båten i forhold til land?

Hastigheten er summen av de to vektorene. De står vinkelrett på hverandre.
Pytagoras: ∣v⃗∣=42+32=25=5|\vec v| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 m/s.
Båten går 5 m/s, litt skrått mot nordøst. (Vinkelen fra nord er tan⁡−134≈37°\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 37°.)
Eksempel 2: Parallellogram

ABCDABCD er et parallellogram. Uttrykk AC⃗\vec{AC} og BD⃗\vec{BD} ved u⃗=AB⃗\vec u = \vec{AB} og v⃗=AD⃗\vec v = \vec{AD}.

AC⃗=AB⃗+BC⃗\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}, og BC⃗=AD⃗\vec{BC} = \vec{AD} (motstående sider). Altså AC⃗=u⃗+v⃗\vec{AC} = \vec u + \vec v.
BD⃗=BA⃗+AD⃗=−u⃗+v⃗=v⃗−u⃗\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec u + \vec v = \vec v - \vec u.
Eksempel 3: Midtpunkt

MM er midtpunktet på linjestykket ABAB. Uttrykk AM⃗\vec{AM} ved AB⃗\vec{AB}.

AM⃗\vec{AM} har samme retning som AB⃗\vec{AB} og halve lengden.
AM⃗=12AB⃗\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • ∣u⃗+v⃗∣=∣u⃗∣+∣v⃗∣|\vec u + \vec v| = |\vec u| + |\vec v|. Stemmer bare når vektorene peker samme vei. Generelt er summen kortere.
  • Feil retning på differansen. u⃗−v⃗\vec u - \vec v går fra spissen av v⃗\vec v til spissen av u⃗\vec u, ikke omvendt.
  • Å tro at vektorer må starte i origo. En vektor kan flyttes fritt så lenge lengden og retningen er den samme.
  • Å blande vektorer og skalarer. u⃗+3\vec u + 3 gir ikke mening, men u⃗+v⃗\vec u + \vec v og 3u⃗3\vec u gjør det.
Huskelapp

Huskelapp

  • En vektor har lengde og retning. Like vektorer: samme lengde og retning.
  • u⃗+v⃗\vec u + \vec v: hode til hale, eller diagonalen i parallellogrammet.
  • u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec u - \vec v = \vec u + (-\vec v)
  • ku⃗k\vec u: ∣k∣|k| ganger så lang, snur hvis k<0k < 0.
  • Parallelle: u⃗=tv⃗\vec u = t\vec v.
Oppgaver

Øv selv