Avstander og vinkler i rommet

Utforsk

Start her: utforsk

En drone svever over en skrå fjellside. Hvor langt er det ned til bakken? Rett ned, eller en annen vei?

Det lilla planet er fjellsiden. Flytt dronen. Den grå streken går rett ned, og den grønne går korteste vei til bakken.

Dra i figuren for å rotere.

Dronen: første koordinat2Dronen: andre koordinat2Dronen: høyde2,5

Korteste vei til fjellsiden (grønn): 2,858

Rett ned (grå): 3,5

Prøv dette:

Er veien rett ned noen gang kortere enn den grønne?
Snu figuren. Hvordan står den grønne streken i forhold til fjellsiden?
Hva må til for at de to veiene skal bli like lange?

Forklaring

Avstand fra et punkt til et plan

Rett ned (loddrett) var ikke den korteste veien, for bakken heller. Den korteste veien gikk vinkelrett på bakken, langs normalen. Alle avstander i rommet handler om det samme: Finn retningen som står vinkelrett, og mål langs den.

Planet er $ax + by + cz + d = 0$ med normalvektor $\vec n = [a, b, c]$ , og punktet er $P_1(x_1, y_1, z_1)$ . Velg et hvilket som helst punkt $P_0$ i planet.

Avstanden er hvor langt $\vec{P_0P_1}$ når ut i normalens retning, altså lengden av projeksjonen av $\vec{P_0P_1}$ på $\vec n$ :

\text{avstand} = \frac{|\vec n \cdot \vec{P_0P_1}|}{|\vec n|}

Telleren er $a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) + c(z_1 - z_0) = ax_1 + by_1 + cz_1 - (ax_0 + by_0 + cz_0)$ . Siden $P_0$ ligger i planet, er $ax_0 + by_0 + cz_0 = -d$ . Da blir formelen:

\text{avstand} = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Sett punktet inn i venstresiden av planlikningen, ta absoluttverdi, og del på lengden av normalvektoren. (Husk å skrive planet på formen $\ldots = 0$ først.)

Modell: Avstandsformelen

Planet er $x + y + 2z - 2 = 0$ . Flytt punktet $P$ . Den grønne streken er den korteste veien til planet, og den er parallell med normalvektoren $[1, 1, 2]$ .

Dra i figuren for å rotere.

a

2

b

2

c

2,5

Avstanden:

\dfrac{|2 + 2 + 2 \cdot 2{,}5 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{ 7 }{\sqrt 6} \approx 2{,}858

Loddrett ned (grå):

3{,}5

Prøv dette:

Er den grå, loddrette streken noen gang kortere enn den grønne?
Legg punktet i planet. Hva blir avstanden?
Flytt punktet til den andre siden av planet. Hvorfor trenger formelen absoluttverdi?

Fotpunktet

Det nærmeste punktet i planet kalles fotpunktet. Du finner det ved å gå fra $P_1$ langs normalen: Linja $[x, y, z] = [x_1, y_1, z_1] + t[a, b, c]$ skjærer planet i fotpunktet.

Avstand fra et punkt til en linje

Linja går gjennom $A$ med retningsvektor $\vec r$ , og punktet er $P$ . Det finnes to fine metoder.

Metode 1: Vinkelrett. Et punkt på linja er $Q(t)$ . Det nærmeste punktet er der $\vec{PQ}$ står vinkelrett på linja: $\vec{PQ} \cdot \vec r = 0$ . Løs for $t$ , og regn ut $|\vec{PQ}|$ .

Metode 2: Areal. Vektorene $\vec r$ og $\vec{AP}$ utspenner et parallellogram. Arealet er grunnlinje ganger høyde, og høyden er nettopp avstanden fra $P$ til linja:

|\vec{AP} \times \vec r| = |\vec r| \cdot \text{avstand} \quad\Longrightarrow\quad \text{avstand} = \frac{|\vec{AP} \times \vec r|}{|\vec r|}

Les mer Avstanden mellom to vindskjeve linjer

To vindskjeve linjer $l$ (gjennom $A$ , retning $\vec r_1$ ) og $m$ (gjennom $B$ , retning $\vec r_2$ ) har en korteste avstand. Den korteste forbindelsen står vinkelrett på begge linjene, altså langs $\vec n = \vec r_1 \times \vec r_2$ .

Avstanden er lengden av projeksjonen av $\vec{AB}$ på $\vec n$ :

\text{avstand} = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec r_1 \times \vec r_2)|}{|\vec r_1 \times \vec r_2|}

Eksempel: De vindskjeve linjene $l: [1, 2, 0] + t[1, 0, 1]$ og $m: [0, 0, 3] + s[1, 1, 0]$ fra forrige deltema har $\vec n = [1, 0, 1] \times [1, 1, 0] = [-1, 1, 1]$ og $\vec{AB} = [-1, -2, 3]$ . Avstanden er $\dfrac{|1 - 2 + 3|}{\sqrt 3} = \dfrac{2}{\sqrt 3} \approx 1{,}15$ .

Tenk på det som å legge to parallelle plan, ett gjennom hver linje. Avstanden mellom linjene er avstanden mellom planene.

Vinkelen mellom to plan

Når to plan vipper i forhold til hverandre, vipper normalvektorene like mye. Vinkelen mellom planene er derfor den spisse vinkelen mellom normalvektorene:

\cos\theta = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}

Modell: Vinkelen mellom to plan

Det blå planet er $xy$ -planet. Det lilla planet går gjennom $y$ -aksen og er vippet vinkelen $v$ . Sammenlign vinkelen mellom normalvektorene (grønn) med vinkelen mellom planene (oransje).

Dra i figuren for å rotere.

v

40

\vec n_1 = [0, 0, 1]

og

\vec n_2 = [-0{,}643;\ 0;\ 0{,}766]

gir

\cos\theta = 0{,}766

, altså

\theta = 40°

.

Vinkelen mellom en linje og et plan

Vinkelen $\varphi$ mellom en linje og et plan er vinkelen mellom linja og «skyggen» av den i planet. Normalen står vinkelrett på planet, så vinkelen mellom linja og normalen er $90° - \varphi$ . Siden $\cos(90° - \varphi) = \sin\varphi$ , får vi

\sin\varphi = \frac{|\vec r \cdot \vec n|}{|\vec r| \cdot |\vec n|}

Legg merke til sinus. Står linja vinkelrett på planet, er $\vec r$ parallell med $\vec n$ , og $\sin\varphi = 1$ gir $\varphi = 90°$ .

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Avstand fra punkt til plan

Finn avstanden fra $P(2, 2, 3)$ til planet $x + 2y + 2z - 3 = 0$ .

Sett inn punktet:

2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 3 = 9

.

|\vec n| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

.

Avstanden er

\dfrac{|9|}{3} = 3

.

Eksempel 2: Fotpunktet

Finn fotpunktet $F$ for $P(2, 2, 3)$ i planet $x + 2y + 2z - 3 = 0$ .

Linja fra

P

langs normalen:

x = 2 + t

,

y = 2 + 2t

,

z = 3 + 2t

.

Sett inn i planet:

(2 + t) + 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) - 3 = 9 + 9t = 0

, så

t = -1

.

F(1, 0, 1)

. Kontroll:

|\vec{PF}| = |[-1, -2, -2]| = 3

, som i eksempel 1.

Eksempel 3: Avstand fra punkt til linje

Finn avstanden fra $P(3, 2, 1)$ til linja $[x, y, z] = [1, 0, 0] + t[1, 1, 0]$ .

Metode 2:

A(1, 0, 0)

gir

\vec{AP} = [2, 2, 1]

.

\vec{AP} \times \vec r = [2, 2, 1] \times [1, 1, 0] = [-1, 1, 0]

, med lengde

\sqrt 2

.

Avstanden er

\dfrac{\sqrt 2}{|\vec r|} = \dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2} = 1

.

Kontroll med metode 1:

\vec{PQ} = [t - 2, t - 2, -1]

og

\vec{PQ} \cdot \vec r = 2t - 4 = 0

gir

t = 2

, så

\vec{PQ} = [0, 0, -1]

med lengde 1.

Eksempel 4: Vinkelen mellom to plan

Finn vinkelen mellom planene $x + y + z = 3$ og $z = 0$ .

Normalvektorer:

[1, 1, 1]

og

[0, 0, 1]

. Skalarproduktet er 1.

\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt 3 \cdot 1}

, så

\theta \approx 54{,}7°

.

Eksempel 5: Vinkelen mellom linje og plan

Finn vinkelen mellom $x$ -aksen og planet $x + y + z = 3$ .

\vec r = [1, 0, 0]

og

\vec n = [1, 1, 1]

gir

\vec r \cdot \vec n = 1

.

\sin\varphi = \dfrac{1}{1 \cdot \sqrt 3}

, så

\varphi \approx 35{,}3°

.

Legg merke til at

35{,}3° + 54{,}7° = 90°

. Vinkelen mellom

x

-aksen og normalen er

54{,}7°

.

Vanlige feil

Planet på feil form. $x + y + z = 3$ må skrives $x + y + z - 3 = 0$ før du setter inn i avstandsformelen. Ellers blir $d$ feil.
Å glemme absoluttverdien. En avstand er aldri negativ. Fortegnet forteller bare hvilken side av planet punktet ligger på.
Å glemme å dele på $|\vec n|$ . Uten nevneren får du bare riktig svar når normalvektoren har lengde 1.
Cosinus i stedet for sinus. Vinkelen mellom linje og plan bruker $\sin\varphi$ , fordi $\vec n$ står vinkelrett på planet.
Loddrett i stedet for vinkelrett. Avstanden til et skrått plan måles langs normalen, ikke rett ned.

Huskelapp

Punkt til plan: $\dfrac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
Fotpunkt: linja fra punktet langs $\vec n$ , skjæring med planet.
Punkt til linje: $\dfrac{|\vec{AP} \times \vec r|}{|\vec r|}$ , eller $\vec{PQ} \cdot \vec r = 0$ .
Plan og plan: $\cos\theta = \dfrac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$
Linje og plan: $\sin\varphi = \dfrac{|\vec r \cdot \vec n|}{|\vec r||\vec n|}$

Start her: utforsk

Forklaring

Avstand fra et punkt til et plan

Modell: Avstandsformelen

Fotpunktet

Avstand fra et punkt til en linje

Vinkelen mellom to plan

Modell: Vinkelen mellom to plan

Vinkelen mellom en linje og et plan

Gjennomgåtte eksempler

Vanlige feil

Huskelapp

Øv selv