Plan i rommet

Et plan er bestemt av et punkt og en normalvektor. Likningen for et plan, plan gjennom tre punkter og skjæring med linjer og andre plan.

R2
Fint å kunne først: VektorproduktetLinjer i rommet
Utforsk

Start her: utforsk

Sett en blyant loddrett på pulten. Legg så andre blyanter flatt på pulten, i alle mulige retninger. Hvordan står de liggende blyantene i forhold til den stående? Og hva skjer med «pulten» hvis du vipper den stående blyanten?

Den grønne pila er den stående blyanten, og det lilla planet er pulten. Vipp blyanten med glidebryterne, og dra i figuren for å se fra flere kanter.

x1234y1234z1234
Dra i figuren for å rotere.

Prøv dette:

  1. Vipp blyanten. Hvordan følger planet etter? Står blyanten alltid vinkelrett på planet?
  2. Få planet til å ligge vannrett, som et gulv. Hvordan står blyanten da?
  3. Snu blyanten så den peker rett motsatt vei. Endrer planet seg?
Forklaring

Forklaring

Normalvektor og likning

Pulten består av alle retninger som står vinkelrett på den stående blyanten. Vet du hvor den stående blyanten står, og hvilken vei den peker, vet du nøyaktig hvor pulten er. Den stående blyanten er en normalvektor for pulten.

En normalvektorNormalvektorEn vektor som står vinkelrett på et plan. Planet ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0 har normalvektor [a,b,c][a, b, c]. n⃗=[a,b,c]\vec n = [a, b, c] står vinkelrett på planet. La P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0) være et punkt i planet.

Et punkt P(x,y,z)P(x, y, z) ligger i planet nøyaktig når vektoren P0P⃗\vec{P_0P} ligger langs planet, altså når den står vinkelrett på n⃗\vec n:

n⃗⋅P0P⃗=0⟺a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0\vec n \cdot \vec{P_0P} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

Ganger vi ut, får vi likningen for planetLikning for et planEt plan gjennom P0(x0,y0,z0)P_0(x_0, y_0, z_0) med normalvektor [a,b,c][a, b, c] har likningen a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.:

ax+by+cz+d=0der d=−(ax0+by0+cz0)ax + by + cz + d = 0 \qquad \text{der } d = -(ax_0 + by_0 + cz_0)

Og omvendt: Tallene foran xx, yy og zz er en normalvektor. Planet 2x−y+3z+3=02x - y + 3z + 3 = 0 har normalvektor [2,−1,3][2, -1, 3].

Modell: Normalvektoren og likningen

Planet går alltid gjennom P0(1,1,1)P_0(1, 1, 1). Endre normalvektoren n⃗=[a,b,c]\vec n = [a, b, c] og se hvordan planet vipper.

x1234y1234z1234
Dra i figuren for å rotere.
(0)(x−1)+(1)(y−1)+(2)(z−1)=0(0)(x - 1) + (1)(y - 1) + (2)(z - 1) = 0
som er det samme som (0)x+(1)y+(2)z=3(0)x + (1)y + (2)z = 3

Prøv dette:

  1. Sett n⃗=[0,0,1]\vec n = [0, 0, 1]. Hvilket plan får du? Hva er likningen?
  2. Sett c=0c = 0. Hva skjer med planet? Se ovenfra.
  3. Sammenlign n⃗=[0,1,2]\vec n = [0, 1, 2] og n⃗=[0,−1,−2]\vec n = [0, -1, -2]. Hvorfor blir planet det samme?

Plan gjennom tre punkter

Tre punkter AA, BB og CC som ikke ligger på linje, bestemmer et plan (derfor vipper aldri en krakk med tre bein). Vektorene AB⃗\vec{AB} og AC⃗\vec{AC} ligger i planet. Vektorproduktet står vinkelrett på begge, så det er en normalvektor:

n⃗=AB⃗×AC⃗\vec n = \vec{AB} \times \vec{AC}

Bruk så n⃗\vec n og ett av punktene i likningen.

Spesielle plan

LikningNormalvektorPlanet
z=2z = 2[0,0,1][0, 0, 1]vannrett, i høyden 2
x+y=2x + y = 2[1,1,0][1, 1, 0]loddrett, parallelt med zz-aksen
x+2y−z=0x + 2y - z = 0[1,2,−1][1, 2, -1]går gjennom origo (d=0d = 0)

Mangler en variabel i likningen, er planet parallelt med den aksen. I rommet er x+y=2x + y = 2 altså et plan, ikke en linje!

Skjæring med aksene

Planet treffer xx-aksen der y=z=0y = z = 0, og tilsvarende for de andre aksene. De tre skjæringspunktene er fine å bruke når du skal skissere planet.

Skjæring mellom linje og plan

Sett parameterframstillingen for linja inn i likningen for planet. Da får du én likning med én ukjent, tt.

  • Én løsning: Linja skjærer planet i ett punkt.
  • Ingen løsning (for eksempel 0=50 = 5): Linja er parallell med planet.
  • Alle tt er løsninger (0=00 = 0): Linja ligger i planet.

Linja er parallell med planet nøyaktig når retningsvektoren står vinkelrett på normalvektoren: r⃗⋅n⃗=0\vec r \cdot \vec n = 0.

Modell: Der linja treffer planet

Planet er x+y+z=3x + y + z = 3. Linja er [x,y,z]=[3,2,3]+t[−1,−1,−1][x, y, z] = [3, 2, 3] + t[-1, -1, -1]. Endre tt og finn punktet der linja treffer planet.

x1234y1234z1234
Dra i figuren for å rotere.
P=(2,5; 1,5; 2,5)P = (2{,}5;\ 1{,}5;\ 2{,}5)
Setter vi inn i planet: x+y+z=8−3t=6,5x + y + z = 8 - 3t = 6{,}5. Punktet er i planet når dette er 3.

Prøv dette: Regn ut hvilken tt som gir skjæringspunktet, og sjekk i figuren.

Skjæringslinja mellom to plan

To plan som ikke er parallelle, skjærer hverandre langs en linje. Linja ligger i begge planene, så retningsvektoren står vinkelrett på begge normalvektorene:

r⃗=n⃗1×n⃗2\vec r = \vec n_1 \times \vec n_2

Et punkt på linja finner du ved å velge en verdi for én koordinat (for eksempel z=0z = 0) og løse de to planlikningene.

Parameterframstilling for et plan

Et plan kan også skrives med to parametre: [x,y,z]=[x0,y0,z0]+s u⃗+t v⃗[x, y, z] = [x_0, y_0, z_0] + s\,\vec u + t\,\vec v, der u⃗\vec u og v⃗\vec v er to vektorer i planet som ikke er parallelle. Normalvektoren er da u⃗×v⃗\vec u \times \vec v.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Plan fra punkt og normalvektor

Finn likningen for planet gjennom P0(1,2,−1)P_0(1, 2, -1) med normalvektor n⃗=[2,−1,3]\vec n = [2, -1, 3].

2(x−1)−(y−2)+3(z+1)=02(x - 1) - (y - 2) + 3(z + 1) = 0.
Gang ut: 2x−2−y+2+3z+3=02x - 2 - y + 2 + 3z + 3 = 0.
2x−y+3z+3=02x - y + 3z + 3 = 0. Sjekk: P0P_0 gir 2−2−3+3=02 - 2 - 3 + 3 = 0.
Eksempel 2: Plan gjennom tre punkter

Finn likningen for planet gjennom A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,2,0)B(0, 2, 0) og C(0,0,3)C(0, 0, 3).

AB⃗=[−1,2,0]\vec{AB} = [-1, 2, 0] og AC⃗=[−1,0,3]\vec{AC} = [-1, 0, 3]. Normalvektor: AB⃗×AC⃗=[6,3,2]\vec{AB} \times \vec{AC} = [6, 3, 2].
Bruk punktet AA: 6(x−1)+3(y−0)+2(z−0)=06(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0.
6x+3y+2z−6=06x + 3y + 2z - 6 = 0. Sjekk BB: 6−6=06 - 6 = 0. Sjekk CC: 6−6=06 - 6 = 0.
Eksempel 3: Linje gjennom plan

Hvor skjærer linja x=1+tx = 1 + t, y=2+2ty = 2 + 2t, z=−tz = -t planet 2x−y+3z+3=02x - y + 3z + 3 = 0?

Sett inn: 2(1+t)−(2+2t)+3(−t)+3=02(1 + t) - (2 + 2t) + 3(-t) + 3 = 0.
2+2t−2−2t−3t+3=02 + 2t - 2 - 2t - 3t + 3 = 0, altså 3−3t=03 - 3t = 0 og t=1t = 1.
Skjæringspunktet er (1+1, 2+2, −1)=(2,4,−1)(1 + 1,\ 2 + 2,\ -1) = (2, 4, -1).
Eksempel 4: Skjæringslinja mellom to plan

Finn skjæringslinja mellom planene x+y+z=3x + y + z = 3 og x−y+2z=1x - y + 2z = 1.

Retningsvektor: n⃗1×n⃗2=[1,1,1]×[1,−1,2]=[3,−1,−2]\vec n_1 \times \vec n_2 = [1, 1, 1] \times [1, -1, 2] = [3, -1, -2].
Et punkt: Sett z=0z = 0. Da er x+y=3x + y = 3 og x−y=1x - y = 1, som gir x=2x = 2 og y=1y = 1.
Skjæringslinja er [x,y,z]=[2,1,0]+t[3,−1,−2][x, y, z] = [2, 1, 0] + t[3, -1, -2].
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Normalvektor og retningsvektor. En linje har en retningsvektor langs linja. Et plan har en normalvektor vinkelrett på planet.
  • Å glemme fortegnet. 2x−y+3z+3=02x - y + 3z + 3 = 0 har normalvektor [2,−1,3][2, -1, 3], ikke [2,1,3][2, 1, 3].
  • Å tro at x+y=2x + y = 2 er en linje. I rommet er det et plan (parallelt med zz-aksen). En linje trenger to likninger eller en parameterframstilling.
  • Tre punkter på linje. Ligger AA, BB og CC på samme linje, blir AB⃗×AC⃗=0⃗\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec 0, og de bestemmer ikke et plan.
Huskelapp

Huskelapp

  • Plan gjennom P0P_0 med normalvektor [a,b,c][a, b, c]: a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.
  • ax+by+cz+d=0ax + by + cz + d = 0 har normalvektor [a,b,c][a, b, c].
  • Tre punkter: n⃗=AB⃗×AC⃗\vec n = \vec{AB} \times \vec{AC}.
  • Linje og plan: sett linja inn i planlikningen og løs for tt.
  • To plan: skjæringslinja har retning n⃗1×n⃗2\vec n_1 \times \vec n_2.
Oppgaver

Øv selv