Kuleflater

Alle punkter med samme avstand fra et sentrum. Likningen for en kuleflate, tangentplan og skjæring med plan og linjer.

R2
Fint å kunne først: Avstander og vinkler i rommetFullføre kvadratet
Utforsk

Start her: utforsk

Mobilen din vet hvor du er fordi den regner ut avstanden til flere GPS-satellitter. Vet den at du er 20 200 km fra én satellitt, hvor kan du være?

Alle punktene som har samme avstand fra et punkt, danner en kule. Her har kula radius 3. Skjær gjennom den med et vannrett plan, og se hva slags figur snittet blir.

x1234y1234z1234
Dra i figuren for å rotere.
Radius i snittet: 2,4

Prøv dette:

  1. Hva slags figur er snittet? Hvor stort er det når planet går gjennom midten?
  2. For hvilke høyder finnes det ikke noe snitt?
  3. To kuler skjærer hverandre. Hva slags figur tror du snittet blir? Hvor mange satellitter trenger mobilen for å vite nøyaktig hvor du er?
Forklaring

Forklaring

Likningen for en kuleflate

Vet mobilen at du er 20 200 km fra én satellitt, vet den bare at du er et sted på en kuleflate rundt satellitten. Med en satellitt til får den en kuleflate til. To kuleflater skjærer hverandre i en sirkel. En tredje kuleflate skjærer sirkelen i to punkter, og det ene ligger langt ute i verdensrommet. Da er det bare ett punkt igjen: der du står.

En kuleflateKuleflateAlle punkter som har avstand rr fra sentrum S(x0,y0,z0)S(x_0, y_0, z_0). med sentrum S(x0,y0,z0)S(x_0, y_0, z_0) og radius rr består av alle punkter P(x,y,z)P(x, y, z) med avstand rr fra SS: ∣SP⃗∣=r|\vec{SP}| = r. Kvadrerer vi avstandsformelen, får vi

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=r2(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2

Et punkt ligger innenfor kula når ∣SP⃗∣<r|\vec{SP}| < r og utenfor når ∣SP⃗∣>r|\vec{SP}| > r.

Fra utregnet form til sentrum og radius

Ofte står likningen ganget ut, som x2+y2+z2−2x+4y−6z+5=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0. Da fullfører vi kvadratet for hver variabel:

x2−2x⏟(x−1)2−1+y2+4y⏟(y+2)2−4+z2−6z⏟(z−3)2−9+5=0\underbrace{x^2 - 2x}_{(x - 1)^2 - 1} + \underbrace{y^2 + 4y}_{(y + 2)^2 - 4} + \underbrace{z^2 - 6z}_{(z - 3)^2 - 9} + 5 = 0

Samler vi tallene, får vi (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 9. Sentrum er S(1,−2,3)S(1, -2, 3) og radius er 33.

Pass på fortegnene: (y+2)2(y + 2)^2 betyr at y0=−2y_0 = -2.

Tangentplan

Et tangentplan berører kuleflaten i ett punkt PP. Radien SP⃗\vec{SP} står vinkelrett på tangentplanet, akkurat som radien i en sirkel står vinkelrett på tangenten. Derfor er SP⃗\vec{SP} en normalvektor for tangentplanet.

Modell: Tangentplanet

Punktet PP ligger på kuleflaten med radius 2,52{,}5. Flytt det med lengdegrad og breddegrad. Tangentplanet har SP⃗\vec{SP} som normalvektor.

x1234y1234z1234
Dra i figuren for å rotere.
P≈(−0,38; 2,13; 1,25)P \approx (-0{,}38;\ 2{,}13;\ 1{,}25)

Kuleflate og plan

La δ\delta være avstanden fra sentrum SS til planet.

Skjæring
δ>r\delta > rIngen. Planet går utenfor kula.
δ=r\delta = rEtt punkt. Planet er et tangentplan.
δ<r\delta < rEn sirkel.

Sirkelen har sentrum i fotpunktet til SS i planet. Radius, avstanden δ\delta og kuleradien danner en rettvinklet trekant, så sirkelradien er

ρ=r2−δ2\rho = \sqrt{r^2 - \delta^2}

Modell: Sirkelen og den rettvinklede trekanten

Kula har sentrum i origo og radius 3. Planet z=hz = h er vannrett. Endre hh og se sirkelen der planet skjærer kula.

x1234y1234z1234
Dra i figuren for å rotere.
Avstand fra sentrum til planet: δ=1,8\delta = 1{,}8
Sirkelradius: ρ=32−δ2=5,76≈2,4\rho = \sqrt{3^2 - \delta^2} = \sqrt{ 5{,}76 } \approx 2{,}4

Prøv dette:

  1. For hvilke verdier av hh finnes det ingen sirkel? Se hva som skjer med ρ\rho.
  2. Hvor stor er sirkelen når h=0h = 0? Hva heter den sirkelen på jordkloden?
  3. Finn den rettvinklede trekanten (grønn, oransje og stiplet). Hvilken side er hypotenusen?

Kuleflate og linje

Sett parameterframstillingen for linja inn i likningen for kuleflaten. Du får en andregradslikning i tt:

  • To løsninger: Linja går gjennom kula og treffer flaten i to punkter.
  • Én løsning: Linja tangerer kula.
  • Ingen løsning: Linja går utenfor.
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Sentrum og radius

Finn sentrum og radius for x2+y2+z2+6x−4z−3=0x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 4z - 3 = 0.

x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 og z2−4z=(z−2)2−4z^2 - 4z = (z - 2)^2 - 4. Det er ikke noe yy-ledd, så y2y^2 står som det står.
(x+3)2−9+y2+(z−2)2−4−3=0(x + 3)^2 - 9 + y^2 + (z - 2)^2 - 4 - 3 = 0, altså (x+3)2+y2+(z−2)2=16(x + 3)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 16.
Sentrum S(−3,0,2)S(-3, 0, 2) og radius r=4r = 4.
Eksempel 2: Tangentplan

Punktet P(3,−1,5)P(3, -1, 5) ligger på kuleflaten (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 9. Finn tangentplanet i PP.

Sjekk: 22+12+22=92^2 + 1^2 + 2^2 = 9. Punktet ligger på flaten.
Normalvektor: SP⃗=[3−1, −1−(−2), 5−3]=[2,1,2]\vec{SP} = [3 - 1,\ -1 - (-2),\ 5 - 3] = [2, 1, 2].
2(x−3)+(y+1)+2(z−5)=02(x - 3) + (y + 1) + 2(z - 5) = 0, altså 2x+y+2z−15=02x + y + 2z - 15 = 0.
Eksempel 3: Kule og plan

Kuleflaten x2+y2+z2=25x^2 + y^2 + z^2 = 25 skjæres av planet x+2y+2z=9x + 2y + 2z = 9. Finn radius og sentrum i skjæringssirkelen.

Avstanden fra S(0,0,0)S(0, 0, 0) til planet: δ=∣0−9∣1+4+4=3\delta = \dfrac{|0 - 9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3. Siden 3<53 < 5, får vi en sirkel.
ρ=52−32=4\rho = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4.
Sentrum er fotpunktet: Linja t[1,2,2]t[1, 2, 2] inn i planet gir 9t=99t = 9, så t=1t = 1 og sentrum er (1,2,2)(1, 2, 2).
Eksempel 4: Kule og linje

Hvor skjærer linja [x,y,z]=[1,0,0]+t[0,1,1][x, y, z] = [1, 0, 0] + t[0, 1, 1] kuleflaten x2+y2+z2=9x^2 + y^2 + z^2 = 9?

Sett inn: 12+t2+t2=91^2 + t^2 + t^2 = 9, altså 2t2=82t^2 = 8 og t=±2t = \pm 2.
t=2t = 2 gir (1,2,2)(1, 2, 2), og t=−2t = -2 gir (1,−2,−2)(1, -2, -2).
Vanlige feil

Vanlige feil

  • rr i stedet for r2r^2. (x−1)2+y2+z2=9(x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 9 har radius 3, ikke 9.
  • Fortegn i sentrum. (x+3)2(x + 3)^2 betyr x0=−3x_0 = -3.
  • Å glemme å trekke fra. x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9. Uten −9-9 blir radien feil.
  • OP⃗\vec{OP} i stedet for SP⃗\vec{SP}. Normalvektoren til tangentplanet går fra sentrum, som ikke alltid er origo.
  • Sirkelradien er ikke rr. Planet skjærer kula i en mindre sirkel med ρ=r2−δ2\rho = \sqrt{r^2 - \delta^2}, med mindre planet går gjennom sentrum.
Huskelapp

Huskelapp

  • (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=r2(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2
  • Utregnet form: fullfør kvadratene.
  • Tangentplan i PP: normalvektor SP⃗\vec{SP}.
  • Kule og plan: δ<r\delta < r gir sirkel med ρ=r2−δ2\rho = \sqrt{r^2 - \delta^2}.
  • Kule og linje: andregradslikning i tt (0, 1 eller 2 punkter).
Oppgaver

Øv selv