Trigonometriske identiteter

Formler som gjelder for alle vinkler. Enhetsformelen, sumformlene, dobbel vinkel og hvordan a sin x + b cos x blir én sinusbølge.

R2
Fint å kunne først: Trigonometriske likningerSkalarproduktet
Utforsk

Start her: utforsk

Spiller du to toner samtidig, for eksempel fra to høyttalere, legger lydbølgene seg oppå hverandre. Hvordan ser summen ut?

De to stiplede bølgene er tonene. Den blå er summen av dem. Endre styrken på hver tone.

π/2π3π/22π5π/23π7π/24π−6−5−4−3−2−1123456
summen av tonenetone 1tone 2
Største utslag for summen: 5

Prøv dette:

  1. Hvilken form har summen? Ligner den på en av tonene?
  2. Tone 1 har styrke 3 og tone 2 har styrke 4. Gjett hvor stort det største utslaget for summen blir. Er det 3+4=73 + 4 = 7?
  3. Prøv andre styrker. Ser du en sammenheng mellom de to styrkene og utslaget? (Tips: Pytagoras.)
Forklaring

Forklaring

Identiteter

Summen av to like raske sinusbølger ble én ny sinusbølge, bare forskjøvet og med en annen styrke. Med styrker 3 og 4 ble utslaget 5, ikke 7, fordi 32+42=5\sqrt{3^2 + 4^2} = 5. Slike sammenhenger er trigonometriske identiteter: likheter som gjelder for alle vinkler. De gjør det mulig å forenkle uttrykk, løse vanskeligere likninger og regne ut eksakte verdier som sin⁡75°\sin 75°.

Enhetsformelen

Punktet (cos⁡x,sin⁡x)(\cos x, \sin x) ligger på enhetssirkelen, så Pytagoras gir

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Sumformlene

cos⁡(u−v)=cos⁡ucos⁡v+sin⁡usin⁡v\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v

Bevis med vektorer: Vektorene a⃗=[cos⁡u,sin⁡u]\vec a = [\cos u, \sin u] og b⃗=[cos⁡v,sin⁡v]\vec b = [\cos v, \sin v] har lengde 1, og vinkelen mellom dem er u−vu - v. Skalarproduktet regnet på to måter gir

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡(u−v)=cos⁡(u−v)oga⃗⋅b⃗=cos⁡ucos⁡v+sin⁡usin⁡v\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos(u - v) = \cos(u - v) \quad \text{og} \quad \vec a \cdot \vec b = \cos u \cos v + \sin u \sin v

Fra denne følger de andre (bytt vv med −v-v, og bruk sin⁡x=cos⁡(π2−x)\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)):

cos⁡(u+v)=cos⁡ucos⁡v−sin⁡usin⁡v\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin vsin⁡(u±v)=sin⁡ucos⁡v±cos⁡usin⁡v\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v

Modell: Test identitetene

Velg vinkler (i radianer) og se hvilke formler som holder. De nederste er vanlige feil.

RegelVenstre sideHøyre side
sin⁡2u+cos⁡2u=1\sin^2 u + \cos^2 u = 111✓ Like
sin⁡(u+v)=sin⁡ucos⁡v+cos⁡usin⁡v\sin(u + v) = \sin u\cos v + \cos u\sin v0,89120,8912✓ Like
cos⁡(u+v)=cos⁡ucos⁡v−sin⁡usin⁡v\cos(u + v) = \cos u\cos v - \sin u\sin v0,45360,4536✓ Like
sin⁡2u=2sin⁡ucos⁡u\sin 2u = 2\sin u\cos u0,98540,9854✓ Like
sin⁡(u+v)=sin⁡u+sin⁡v\sin(u + v) = \sin u + \sin vvanlig feil0,89121,0336✗ Ulike
sin⁡2u=2sin⁡u\sin 2u = 2\sin uvanlig feil0,98541,2884✗ Ulike

Dobbel vinkel

Med u=v=xu = v = x i sumformlene:

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos xcos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=1−2sin⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1

a sin x + b cos x som én bølge

Enhver sum asin⁡x+bcos⁡xa\sin x + b\cos x kan skrives som én sinusfunksjon:

asin⁡x+bcos⁡x=rsin⁡(x+φ)r=a2+b2a\sin x + b\cos x = r\sin(x + \varphi) \qquad r = \sqrt{a^2 + b^2}

der φ\varphi er vinkelen med cos⁡φ=ar\cos\varphi = \frac{a}{r} og sin⁡φ=br\sin\varphi = \frac{b}{r}. Tegn punktet (a,b)(a, b): rr er avstanden til origo og φ\varphi er vinkelen.

Modell: To bølger blir én

Den blå grafen er asin⁡x+bcos⁡xa\sin x + b\cos x, den oransje stiplede er rsin⁡(x+φ)r\sin(x + \varphi). De ligger alltid oppå hverandre.

π/2π3π/22π5π/23π7π/24π−6−5−4−3−2−1123456
asin⁡x+bcos⁡xa\sin x + b\cos xrsin⁡(x+φ)r\sin(x + \varphi)
r=a2+b2=5r = \sqrt{a^2 + b^2} = 5 og φ=0,927\varphi = 0{,}927

Prøv dette:

  1. Finnes det vinkler der sin⁡(u+v)=sin⁡u+sin⁡v\sin(u + v) = \sin u + \sin v likevel stemmer?
  2. Hva er største verdi av 3sin⁡x+4cos⁡x3\sin x + 4\cos x?
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Eksakt verdi

Finn sin⁡75°\sin 75° eksakt.

75°=45°+30°75° = 45° + 30°.
sin⁡75°=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°=22⋅32+22⋅12\sin 75° = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}.
=6+24≈0,966= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966.
Eksempel 2: Løs en likning med identitet

Løs sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x = \sin x for x∈[0,2π⟩x \in [0, 2\pi\rangle.

2sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=02\sin x\cos x - \sin x = 0, altså sin⁡x(2cos⁡x−1)=0\sin x(2\cos x - 1) = 0.
sin⁡x=0\sin x = 0 gir x=0x = 0 eller x=πx = \pi.
cos⁡x=12\cos x = \frac{1}{2} gir x=π3x = \frac{\pi}{3} eller x=5π3x = \frac{5\pi}{3}.
Eksempel 3: Én sinusbølge

Skriv 3sin⁡x+4cos⁡x3\sin x + 4\cos x som rsin⁡(x+φ)r\sin(x + \varphi), og finn største verdi.

r=32+42=5r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.
cos⁡φ=35\cos\varphi = \frac{3}{5} og sin⁡φ=45\sin\varphi = \frac{4}{5}, så φ≈0,927\varphi \approx 0{,}927.
3sin⁡x+4cos⁡x=5sin⁡(x+0,927)3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + 0{,}927). Største verdi er 5.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • sin⁡(u+v)=sin⁡u+sin⁡v\sin(u + v) = \sin u + \sin v. Nei! Bruk sumformelen.
  • sin⁡2x=2sin⁡x\sin 2x = 2\sin x. Riktig er 2sin⁡xcos⁡x2\sin x\cos x.
  • Å dele på sin⁡x\sin x i en likning. Da mister du løsningene med sin⁡x=0\sin x = 0. Faktoriser i stedet.
  • Feil kvadrant for φ\varphi. tan⁡φ=ba\tan\varphi = \frac{b}{a} alene er ikke nok. Tegn punktet (a,b)(a, b).
Huskelapp

Huskelapp

  • sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1
  • sin⁡(u±v)=sin⁡ucos⁡v±cos⁡usin⁡v\sin(u \pm v) = \sin u\cos v \pm \cos u\sin v
  • cos⁡(u±v)=cos⁡ucos⁡v∓sin⁡usin⁡v\cos(u \pm v) = \cos u\cos v \mp \sin u\sin v
  • sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x, cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x
  • asin⁡x+bcos⁡x=rsin⁡(x+φ)a\sin x + b\cos x = r\sin(x + \varphi), r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}
Oppgaver

Øv selv