Kjerneregelen

Utforsk

Start her: utforsk

Du går opp et fjell. Temperaturen synker med 6 °C per kilometer høyde, og du stiger 0,5 km per time. Hvor fort synker temperaturen per time?

Grafen viser temperaturen der du er, time for time. Det er 15 °C ved foten av fjellet.

temperaturen der du er

Tid (timer)2Temperaturfall per km høyde (°C)6Stigning per time (km)0,5

Etter 2 timer er du 1 km opp, og temperaturen har sunket 6 °C.

Temperaturen synker 3 °C per time.

Prøv dette:

Hvor mange grader synker temperaturen per time med tallene fra starten? Kan du regne det ut uten grafen?
Gå dobbelt så fort opp. Hva skjer med hvor fort temperaturen synker?
Lag en regel: Hvordan finner du «grader per time» fra «grader per km» og «km per time»?

Forklaring

Sammensatte funksjoner

På fjellturen avhenger temperaturen av høyden, og høyden avhenger av tiden. Temperaturen synker $6 \cdot 0{,}5 = 3$ °C per time. Du har ganget sammen to endringsrater: temperatur per høyde og høyde per tid. Det er hele kjerneregelen.

Funksjonen $h(x) = (3x + 1)^5$ er en sammensatt funksjon. Først regner vi ut kjernen $u = 3x + 1$ , og så opphøyer vi i femte: $y = u^5$ .

Kjerneregelen sier: Deriver den ytre funksjonen (med kjernen urørt inni), og gang med den deriverte av kjernen.

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Med Leibniz’ notasjon ser det nesten ut som brøkregning:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

Modell: Endringen strekkes to ganger

En liten endring $\Delta x$ strekkes først av den indre funksjonen og så av den ytre. Alle tre linjene har samme målestokk, så du ser direkte hvor mye endringen forstørres. Gjør $\Delta x$ liten og sammenlign det målte forholdet med kjerneregelen.

Indre funksjon:

u = 3x + 1

Ytre funksjon:

y = u^2

x

0,5

\Delta x

0,1

Målt:

\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1{,}59}{0{,}1} \approx 15{,}9

Kjerneregelen:

f'(u) \cdot g'(x) = 5 \cdot 3 = \mathbf{15}

Jo mindre Δx, jo bedre stemmer de to tallene.

Prøv dette:

I det første eksempelet: Hvor må $x$ være for at den nederste stripen skal bli kortest mulig? Hvorfor?
I det tredje eksempelet: Hva skjer når $x = 0$ ? Hvorfor blir $\Delta y$ nesten borte?

Oppskrift

Finn kjernen $u$ (det som står «inni»).
Deriver den ytre funksjonen med hensyn på $u$ .
Gang med $u'$ .

For $(3x + 1)^5$ : kjernen er $u = 3x + 1$ , den ytre er $u^5$ med derivert $5u^4$ , og $u' = 3$ . Altså:

\big((3x + 1)^5\big)' = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4

Nyttige spesialtilfeller

$f(x)$	$f'(x)$
$e^{kx}$	$k e^{kx}$
$e^{u}$	$e^{u} \cdot u'$
$\ln u$	$\dfrac{u'}{u}$
$u^n$	$n u^{n-1} \cdot u'$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Potens av et polynom

Deriver $f(x) = (x^2 + 1)^3$ .

Kjerne:

u = x^2 + 1

, med

u' = 2x

. Ytre funksjon:

u^3

, med derivert

3u^2

.

f'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2

.

Eksempel 2: Eksponentialfunksjon

Deriver $g(x) = e^{-0{,}5x^2}$ .

Kjerne:

u = -0{,}5x^2

, med

u' = -x

.

(e^u)' = e^u \cdot u'

, så

g'(x) = e^{-0{,}5x^2} \cdot (-x) = -xe^{-0{,}5x^2}

.

Eksempel 3: Logaritme

Deriver $h(x) = \ln(2x + 3)$ .

Kjerne:

u = 2x + 3

, med

u' = 2

.

(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}

, så

h'(x) = \dfrac{2}{2x + 3}

.

Eksempel 4: Kjerneregel og produktregel sammen

Deriver $k(x) = x e^{2x}$ .

Produktregelen med

u = x

og

v = e^{2x}

. Her trenger

v'

kjerneregelen:

v' = 2e^{2x}

.

k'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)

.

Vanlige feil

Å glemme den deriverte av kjernen. $(e^{2x})' = 2e^{2x}$ , ikke $e^{2x}$ . Dette er den aller vanligste feilen.
Å derivere kjernen inni den ytre funksjonen. $\big((3x+1)^5\big)' \neq 5 \cdot 3^4$ . La kjernen stå urørt i den ytre deriverte.
Å bruke kjerneregelen på produkter. $x^2 e^x$ er et produkt, ikke en sammensatt funksjon. Da trengs produktregelen.
Å velge feil kjerne. I $\sqrt{x^2 + 1}$ er kjernen $x^2 + 1$ , ikke $x^2$ .

Huskelapp

$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Deriver den ytre funksjonen, la kjernen stå, gang med den deriverte av kjernen.
$(e^{kx})' = ke^{kx}$ , $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ , $(u^n)' = nu^{n-1}u'$
Produkt av funksjoner: produktregelen. Funksjon av en funksjon: kjerneregelen.

Start her: utforsk

Forklaring

Sammensatte funksjoner

Kjerneregelen

Modell: Endringen strekkes to ganger

Oppskrift

Nyttige spesialtilfeller

Gjennomgåtte eksempler

Vanlige feil

Huskelapp

Øv selv