Hva er en grenseverdi? · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Tenk deg en gangbro der én planke mangler. Du ser plankene på begge sider av hullet, og du vet nøyaktig hvor den manglende planken skulle ligget.

Grafen under har et slikt hull i $x = 1$ . Setter du inn $x = 1$ , får du 00, som ikke gir mening. Men hva skjer nær 1? Dra glidebryteren, så $x$ kommer nærmere og nærmere 1 fra begge sider, og følg med i tabellen.

Avstand til

x = 1

1Dra mot høyre for å komme nærmere.

x (fra venstre)	f(x)	x (fra høyre)	f(x)
0	1	2	3

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

Kom helt inn til avstand 0,0001 for å se konklusjonen.

Prøv dette:

Hva får du for $x = 0{,}9$ , $0{,}99$ og $0{,}999$ ? Og for $x = 1{,}1$ , $1{,}01$ og $1{,}001$ ?
Hvilket tall nærmer verdiene seg fra begge sider? Hvor på grafen ligger hullet?
Hvilken rett linje ligner grafen på?

Forklaring

Definisjonen (med ord)

Tabellen viste at $f(0{,}999) = 1{,}999$ og $f(1{,}001) = 2{,}001$ . Jo nærmere 1 vi kommer, jo nærmere 2 kommer verdiene, fra begge sider. Vi spør ikke hva funksjonen er i $x = 1$ , men hvor den er på vei. Vi skriver

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2

Generelt skriver vi

\lim_{x \to a} f(x) = L

og leser «grenseverdien til $f(x)$ når $x$ går mot $a$ , er $L$ ». Det betyr:

Vi kan få $f(x)$ så nær $L$ vi vil, bare vi velger $x$ nær nok $a$ , fra begge sider og uten at $x = a$ .

Det viktige er uten at $x = a$ . Grenseverdien handler om hva som skjer nær $a$ , ikke i $a$ . Funksjonen trenger ikke engang være definert i $a$ .

Ensidige grenseverdier

Noen ganger nærmer funksjonen seg ulike tall fra hver side. Da bruker vi ensidige grenseverdier:

$\lim\limits_{x \to a^-} f(x)$ : $x$ nærmer seg $a$ fra venstre (tall mindre enn $a$ ).
$\lim\limits_{x \to a^+} f(x)$ : $x$ nærmer seg $a$ fra høyre (tall større enn $a$ ).

Grenseverdien finnes bare hvis begge de ensidige grenseverdiene finnes og er like.

Tre typiske situasjoner

Situasjon	Hva skjer nær $a$	Finnes $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ ?
Hull i grafen	Samme tall fra begge sider	Ja
Hopp i grafen	Ulike tall fra hver side	Nei
Loddrett asymptote	Verdiene vokser uten grense	Nei

Når verdiene vokser uten grense, skriver vi ofte $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \infty$ . Det er en kort måte å si hvordan grenseverdien ikke finnes på. $\infty$ er ikke et tall.

Modell: Et hopp i grafen

Denne funksjonen er satt sammen av to deler: $f(x) = x + 1$ når $x < 1$ , og $f(x) = x - 2$ når $x \geq 1$ .

Avstand til

x = 1

1Dra mot høyre for å komme nærmere.

x (fra venstre)	f(x)	x (fra høyre)	f(x)
0	1	2	0

f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 1 \\ x - 2 & x \geq 1 \end{cases}

Kom helt inn til avstand 0,0001 for å se konklusjonen.

Modell: En loddrett asymptote

Avstand til

x = 2

1Dra mot høyre for å komme nærmere.

x (fra venstre)	f(x)	x (fra høyre)	f(x)
1	1	3	1

f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}

Kom helt inn til avstand 0,0001 for å se konklusjonen.

Uttrykket 0/0

Får du 00 når du setter inn $x = a$ , har du et ubestemt uttrykk. Det betyr ikke at grenseverdien mangler, bare at du må jobbe mer, for eksempel med en verditabell eller ved å faktorisere.

Modell: Bonus: en berømt grenseverdi

Hva skjer med $\frac{\sin x}{x}$ når $x \to 0$ ? Du får 00 hvis du setter inn, men tabellen forteller noe helt bestemt.

Avstand til

x = 0

1Dra mot høyre for å komme nærmere.

x (fra venstre)	f(x)	x (fra høyre)	f(x)
−1	0,8415	1	0,8415

f(x) = \frac{\sin x}{x}

Kom helt inn til avstand 0,0001 for å se konklusjonen.

Prøv dette:

I hullet: Hva er $f(1)$ ? Hva er grenseverdien? Hvorfor er ikke svarene det samme?
I hoppet: Hva er de to ensidige grenseverdiene? Hva er $f(1)$ ?
Kan du finne på en funksjon som har et hull i $x = 3$ ?

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Et ubestemt uttrykk

Finn $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Innsetting gir

\frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}

. Uttrykket er ubestemt, så vi må jobbe videre.

Med verditabell:

x = 2{,}99

gir

5{,}99

og

x = 3{,}01

gir

6{,}01

. Det tyder på at grenseverdien er 6.

Algebraisk: Faktoriser telleren med konjugatsetningen,

x^2 - 9 = (x-3)(x+3)

. For

x \neq 3

er

\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3

.

\lim\limits_{x \to 3} (x + 3) = 6

. Begge metodene gir samme svar.

Eksempel 2: Ulike ensidige grenseverdier

Undersøk $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ .

For

x > 0

er

|x| = x

, så

\dfrac{|x|}{x} = 1

. Dermed er

\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{|x|}{x} = 1

.

For

x < 0

er

|x| = -x

, så

\dfrac{|x|}{x} = -1

. Dermed er

\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{|x|}{x} = -1

.

De ensidige grenseverdiene er ulike. Grenseverdien finnes ikke.

Eksempel 3: Grenseverdien er lik funksjonsverdien

Finn $\lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 3x)$ .

Polynomer har ingen hull eller hopp. Da kan vi bare sette inn:

2^2 + 3 \cdot 2 = 10

.

\lim\limits_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 10

. Her er grenseverdien lik

f(2)

, fordi funksjonen er kontinuerlig.

Vanlige feil

Å tro at grenseverdien alltid er $f(a)$ . Grenseverdien handler om hva som skjer nær $a$ . Den kan finnes selv om $f(a)$ ikke finnes, og den kan være ulik $f(a)$ .
Å gi opp ved 00. 00 er et ubestemt uttrykk, ikke et svar. Faktoriser, forkort eller bruk en tabell.
Å sjekke bare én side. Hvis venstre og høyre side gir ulike tall, finnes ikke grenseverdien.
Å behandle $\infty$ som et tall. Skriver du $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \infty$ , betyr det at grenseverdien ikke finnes, fordi verdiene vokser uten grense.
Å avrunde for tidlig i tabellen. Ta med nok desimaler til at du ser mønsteret.

Huskelapp

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ : $f(x)$ kommer vilkårlig nær $L$ når $x$ kommer nær $a$ (men $x \neq a$ ).
Ensidige: $x \to a^-$ (fra venstre) og $x \to a^+$ (fra høyre).
Grenseverdien finnes bare hvis begge ensidige finnes og er like.
Hull: finnes. Hopp: finnes ikke. Loddrett asymptote: finnes ikke.
00 er ubestemt. Jobb videre med faktorisering eller tabell.

Start her: utforsk

Forklaring

Definisjonen (med ord)

Ensidige grenseverdier

Tre typiske situasjoner

Modell: Et hopp i grafen

Modell: En loddrett asymptote

Uttrykket 0/0

Modell: Bonus: en berømt grenseverdi

Gjennomgåtte eksempler

Vanlige feil

Huskelapp

Øv selv