Parameterframstilling av en linje

Et startpunkt og en retning. Beskriv linjer med en parameter t, finn punkter på linja, og gå fram og tilbake mellom formene.

R1
Fint å kunne først: Vektorer på koordinatformRette linjer
Utforsk

Start her: utforsk

Et skip starter i havna og holder fast kurs og fart. Hver time flytter det seg like langt i samme retning, for eksempel 3 km øst og 1 km nord. Hvor er skipet etter 2 timer? Etter en halv time? Var det et sted for en time siden?

Havna er i origo, og rutene er kilometer. Spill av, eller dra i tiden. Prøv også andre kurser.

−6−5−4−3−2−112345678910111213−4−3−2−11234567\text{skipet}
Etter -1 timer er skipet -3 km øst og -1 km nord for havna.

Prøv dette:

  1. Hvor er skipet etter 1, 2 og 3 timer? Hva er mønsteret?
  2. Hvor var skipet for en time siden (t=−1t = -1)? Hva betyr negativ tid?
  3. Doble både østfarten og nordfarten. Går skipet langs samme linje? Hva er forskjellen?
Forklaring

Forklaring

Parameterframstillingen

Skipet flyttet seg [3,1][3, 1] hver time fra havna. Etter 2 timer var det i 2⋅[3,1]=[6,2]2 \cdot [3, 1] = [6, 2], og etter tt timer i t⋅[3,1]=[3t,t]t \cdot [3, 1] = [3t, t]. Startet det et annet sted, for eksempel i (1,2)(1, 2), ville det vært i

[1,2]+t⋅[3,1]=[1+3t, 2+t][1, 2] + t \cdot [3, 1] = [1 + 3t,\ 2 + t]

Denne måten å beskrive en linje på sier ikke bare hvor linja går, men også hvordan du beveger deg langs den. Tallet tt kalles en parameter, og ofte er det tiden.

En linje gjennom punktet P0(x0,y0)P_0(x_0, y_0) med retningsvektorRetningsvektorEn vektor som peker langs en linje. Alle vektorer parallelle med den kan brukes som retningsvektor. r⃗=[a,b]\vec r = [a, b] har parameterframstillingenParameterframstillingEn beskrivelse av en linje eller kurve der både xx og yy er gitt som funksjoner av en parameter tt, ofte tiden.

[x,y]=[x0,y0]+t⋅[a,b]altsa˚{x=x0+aty=y0+bt[x, y] = [x_0, y_0] + t \cdot [a, b] \qquad \text{altså} \qquad \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}
  • t=0t = 0 gir startpunktet P0P_0.
  • t=1t = 1 gir punktet ett retningsvektor-steg videre.
  • Negative tt gir punkter bakover langs linja.

Modell: Startpunkt og retningsvektor

Endre startpunktet (x0,y0)(x_0, y_0) og retningsvektoren [a,b][a, b]. Den stiplede linja er hele linja, og punktet viser hvor du er for den valgte tt.

−6−5−4−3−2−112345678910−5−4−3−2−11234567P(t)
x=−2+2tx = -2 + 2t, y=1+1ty = 1 + 1t
P(−2)=(−6, −1)P(-2) = (-6,\ -1)

Prøv dette:

  1. Hva skjer med linja hvis du dobler retningsvektoren? Og med punktet P(t)P(t)?
  2. Hvordan må aa og bb være for at linja skal bli vannrett? Loddrett?

Linja gjennom to punkter

Går linja gjennom AA og BB, kan vi bruke AA som startpunkt og AB⃗\vec{AB} som retningsvektor.

Ligger punktet på linja?

Sett punktets koordinater inn i begge likningene og løs for tt. Gir begge likningene samme tt, ligger punktet på linja.

Modell: Test om et punkt ligger på linja

Dra i startpunktet P0P_0, i spissen RR av retningsvektoren og i testpunktet QQ. Utregningen viser hvilken tt hver av likningene gir.

−6−5−4−3−2−112345678−4−3−2−1123456
Linja: x=−3+2tx = -3 + 2t og y=−1+1ty = -1 + 1t
xx-likningen: 3=−3+2t3 = -3 + 2t gir t=3t = 3
yy-likningen: 3=−1+1t3 = -1 + 1t gir t=4t = 4
Ulike tt: QQ ligger ikke på linja.

Prøv dette: Flytt QQ til et punkt på linja. Sjekk at begge likningene gir samme tt. Flytt så P0P_0 langs linja. Endrer tt for QQ seg? Hvorfor?

Fra parameterform til y = mx + c

Løs den ene likningen for tt og sett inn i den andre. Stigningstallet er ba (når a≠0a \neq 0).

Ikke unik

Samme linje har uendelig mange parameterframstillinger. Du kan velge et annet startpunkt på linja, og du kan bruke en hvilken som helst vektor parallell med r⃗\vec r.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Punkter på linja

En linje går gjennom (1,2)(1, 2) med retningsvektor [3,1][3, 1]. Finn punktene for t=0t = 0, t=1t = 1 og t=−1t = -1.

x=1+3tx = 1 + 3t og y=2+ty = 2 + t.
t=0t = 0: (1,2)(1, 2). t=1t = 1: (4,3)(4, 3). t=−1t = -1: (−2,1)(-2, 1).
Eksempel 2: Linja gjennom to punkter

Finn en parameterframstilling for linja gjennom A(−1,4)A(-1, 4) og B(3,2)B(3, 2).

AB⃗=[3−(−1), 2−4]=[4,−2]\vec{AB} = [3 - (-1),\ 2 - 4] = [4, -2].
x=−1+4tx = -1 + 4t, y=4−2ty = 4 - 2t.
Eksempel 3: Ligger punktet på linja?

Ligger C(7,1)C(7, 1) på linja x=−1+4tx = -1 + 4t, y=4−2ty = 4 - 2t?

Fra xx: 7=−1+4t7 = -1 + 4t gir t=2t = 2.
Fra yy med t=2t = 2: y=4−4=0≠1y = 4 - 4 = 0 \neq 1.
Ulike svar, så CC ligger ikke på linja. (Punktet (7,0)(7, 0) gjør det.)
Eksempel 4: Til formen y = mx + c

Skriv linja x=−1+4tx = -1 + 4t, y=4−2ty = 4 - 2t på formen y=mx+cy = mx + c.

Fra xx: t=x+14t = \dfrac{x + 1}{4}.
y=4−2⋅x+14=4−x+12=−12x+72y = 4 - 2 \cdot \dfrac{x + 1}{4} = 4 - \dfrac{x + 1}{2} = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}.
Stigningstallet −12 stemmer med ba=−24\frac{b}{a} = \frac{-2}{4}.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å bytte om startpunkt og retningsvektor. Startpunktet er et punkt (x0,y0)(x_0, y_0), retningsvektoren er en forflytning [a,b][a, b].
  • Å bruke ulik tt når du sjekker et punkt. Punktet ligger på linja bare hvis begge likningene gir samme tt.
  • Å tro at parameterframstillingen er unik. x=1+2t,y=3+tx = 1 + 2t, y = 3 + t og x=5+4t,y=5+2tx = 5 + 4t, y = 5 + 2t er samme linje.
  • Å glemme at tt kan være negativ. Linja fortsetter i begge retninger.
Huskelapp

Huskelapp

  • [x,y]=[x0,y0]+t[a,b][x, y] = [x_0, y_0] + t[a, b]: startpunkt pluss tt ganger retningsvektor.
  • Gjennom AA og BB: bruk AB⃗\vec{AB} som retningsvektor.
  • Punkt på linja: samme tt i begge likningene.
  • Stigningstall: ba.
Oppgaver

Øv selv