Radianer og enhetssirkelen · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Hvorfor har en hel sirkel 360 grader? Det er et valg babylonerne gjorde for nesten 4000 år siden. Det har ingenting med sirkelen selv å gjøre. Finnes det et mer naturlig vinkelmål?

Tenk deg at du legger radien (den blå streken) langs kanten av sirkelen, som en snor. Den oransje buen er så mange radier lang som du velger.

Antall radier langs buen1Radius2

Buen er 1 radier lang, altså 2 lengdeenheter.

Vinkelen er 57,3 grader.

Prøv dette:

Sett buen til 1 radie. Hvor mange grader er vinkelen? Endre radien. Endrer vinkelen seg?
Hvor mange radier må du legge langs kanten for å komme en hel runde rundt? Kjenner du igjen tallet?
Hvor mange radier er en halv runde?

Forklaring

Radianer

Vinkelen der buen er like lang som radien, kaller vi én radian. Den er omtrent $57{,}3°$ , uansett hvor stor sirkelen er. Det går litt over 6 radier rundt sirkelen, nemlig $2\pi \approx 6{,}28$ . Radianer måler vinkler med lengder: Vinkelen er hvor mange radier du må gå langs buen.

En vinkel $v$ i radianer er forholdet mellom buelengden $b$ og radien $r$ :

v = \frac{b}{r}

En hel sirkel har omkrets $2\pi r$ , så en hel omdreining er $2\pi$ radianer. Derfor er

180° = \pi \text{ rad}

Fra grader til radianer: gang med $\frac{\pi}{180}$ .
Fra radianer til grader: gang med $\frac{180}{\pi}$ .

Standardvinkler

Grader	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
Radianer	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen har radius 1 og sentrum i origo. Vi måler vinkelen $v$ fra den positive $x$ -aksen, mot klokka. Punktet på sirkelen har koordinatene

P = (\cos v,\ \sin v)

Dette er definisjonen av sinus og cosinus for alle vinkler, ikke bare vinkler i trekanter. Og $\tan v = \dfrac{\sin v}{\cos v}$ .

Modell:

Dra punktet rundt sirkelen, eller dra i grafen. Den oransje buen er vinkelen i radianer. Den røde streken er $\sin v$ , og den blir til sinusgrafen til høyre.

v

Lås til hele 15°

v = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524

rad

= 30°

\cos v = \tfrac{\sqrt{3}}{2}

,

\sin v = \tfrac{1}{2}

,

\tan v = 0{,}577

Den oransje buen er vinkelen målt i radianer: lengden av buen på en sirkel med radius 1.

Prøv dette:

Finn alle vinkler mellom 0 og $2\pi$ der $\sin v = \frac{1}{2}$ . Hvorfor er det to?
Hvor på sirkelen er $\cos v = \sin v$ ?
Følg den røde streken en hel runde. Kjenner du igjen formen på grafen?

Tre viktige egenskaper

Pytagoras: Punktet ligger på sirkelen, så $\cos^2 v + \sin^2 v = 1$ .
Periodisk: Etter én runde er vi tilbake: $\sin(v + 2\pi) = \sin v$ og $\cos(v + 2\pi) = \cos v$ .
Fortegn: I første kvadrant er begge positive. I andre er cos negativ, i tredje begge negative, og i fjerde er sin negativ.

Eksakte verdier

$v$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin v$	$0$	12	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos v$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	12	$0$

Verdiene for andre vinkler finner du ved å speile på enhetssirkelen.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Omregning

Gjør om $135°$ til radianer og $\frac{5\pi}{6}$ til grader.

135° \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}

.

\dfrac{5\pi}{6} \cdot \dfrac{180°}{\pi} = \dfrac{5 \cdot 180°}{6} = 150°

.

Eksempel 2: Eksakte verdier med speiling

Finn $\cos\frac{2\pi}{3}$ og $\sin\frac{7\pi}{6}$ eksakt.

\frac{2\pi}{3}

ligger i andre kvadrant, speilet av

\frac{\pi}{3}

om

y

-aksen. Da er

\cos\frac{2\pi}{3} = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}

.

\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}

ligger i tredje kvadrant. Da er

\sin\frac{7\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}

.

Eksempel 3: Buelengde

Et pizzastykke fra en pizza med radius 18 cm har vinkelen $\frac{\pi}{4}$ . Hvor lang er skorpa?

b = r \cdot v = 18 \cdot \dfrac{\pi}{4} = 4{,}5\pi

.

b \approx 14{,}1

cm.

Vanlige feil

Kalkulatoren i feil modus. $\sin 30$ gir $0{,}5$ i grader, men $-0{,}988$ i radianer. Sjekk modus før du regner.
« $\pi = 180$ ». $\pi$ er et tall, omtrent 3,14. Det er $\pi$ radianer som er 180°.
Feil fortegn i andre kvadranter. Tegn enhetssirkelen og se hvor punktet ligger.
Å tro at sin og cos bare finnes for vinkler under 90°. Med enhetssirkelen er de definert for alle vinkler, også negative og større enn $2\pi$ .

Huskelapp

$v = \frac{b}{r}$ , og $180° = \pi$ rad.
Enhetssirkelen: $P = (\cos v, \sin v)$ og $\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$ .
$\cos^2 v + \sin^2 v = 1$
Periode $2\pi$ : $\sin(v + 2\pi) = \sin v$ .
Eksakte verdier for $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{3}$ , og speiling for resten.