Integralet som grenseverdi av summer

Utforsk

Start her: utforsk

En bil kjører med konstant fart 60 km/t i 2 timer. Hvor langt kommer den? $60 \cdot 2 = 120$ km. Men hva om farten endrer seg hele tiden?

En bil starter fra stillestående og øker farten. Grafen viser farten (i meter per sekund) de første 4 sekundene. Del tiden opp i korte biter. I hver bit er farten nesten konstant, så strekningen i biten er nesten fart ganger tid: arealet av et rektangel.

n

4

Tilnærming med 4 rektangler: 14 m

Prøv dette:

Med 4 rektangler: Omtrent hvor langt har bilen kjørt?
Øk antall rektangler. Hva skjer med summen? Nærmer den seg et bestemt tall?
Er venstresummen for liten eller for stor? Hva med høyresummen? Hvorfor?
Hvilken metode kommer raskest nær tallet summene nærmer seg?

Forklaring

Riemannsummer

I bilmodellen ble summene $21{,}3$ m når rektanglene ble mange. Hvert rektangel var fart ganger en kort tid. Generelt: Del intervallet $[a, b]$ i $n$ like store biter med bredde $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ . I hver bit velger vi et punkt $x_i$ og lager et rektangel med høyde $f(x_i)$ . Summen

\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x

kalles en Riemannsum. Høyden kan tas i venstre ende, høyre ende eller midten av biten.

Det bestemte integralet

Når $n \to \infty$ , blir rektanglene uendelig smale, og summene nærmer seg ett bestemt tall:

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x

Dette er det bestemte integralet. Symbolet $\int$ er en strukket S for «sum», og $dx$ minner om den uendelig lille bredden $\Delta x$ .

Tolkninger

$f(x)$	$\int_a^b f(x)\,dx$
høyden til en graf	arealet under grafen
fart	tilbakelagt strekning
effekt (watt)	energi (joule)
vekstfart	total endring
befolkningstetthet	antall innbyggere

Areal med fortegn

Der grafen ligger under $x$ -aksen, blir $f(x_i)$ negativ, og rektanglene teller negativt. Integralet er altså areal over aksen minus areal under aksen. Se at de røde rektanglene trekkes fra:

n

4

Tilnærming med 4 rektangler: 1,2199

\displaystyle\int_{0}^{5} \sin x\,dx \approx 0{,}7163

Feil: 0,5035

Prøv dette: Hvor mange rektangler trenger du for at feilen skal bli under 0,01 med midtpunktmetoden?

Et eksempel regnet helt ut

For $f(x) = x^2$ på $[0, 1]$ med høyresum er $x_i = \frac{i}{n}$ og $\Delta x = \frac{1}{n}$ :

\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^2 \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \ \xrightarrow{n \to \infty}\ \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Regn ut en Riemannsum

Finn venstresummen for $f(x) = x^2$ på $[0, 2]$ med $n = 4$ .

\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5

. Venstre endepunkter:

0

,

0{,}5

,

1

,

1{,}5

.

Summen:

(0^2 + 0{,}5^2 + 1^2 + 1{,}5^2) \cdot 0{,}5 = (0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25) \cdot 0{,}5 = 1{,}75

.

Det eksakte arealet er 83≈2,67. Venstresummen er for liten, fordi funksjonen vokser.

Eksempel 2: Strekning

En bil har fart $v(t) = 3t$ m/s de første 10 sekundene. Hvor langt kjører den?

Strekningen er arealet under grafen til

v

fra 0 til 10.

Grafen er en rett linje, så arealet er en trekant: 12·10·30=150 m.

Altså er

\displaystyle\int_0^{10} 3t\,dt = 150

.

Eksempel 3: Tolkning

$R(t)$ er hvor mange liter regn som faller per time på et tak. Hva betyr $\displaystyle\int_0^{24} R(t)\,dt = 850$ ?

Integralet summerer «liter per time» ganger «timer», altså liter.

I løpet av døgnet falt det til sammen 850 liter regn på taket.

Vanlige feil

Å tro at integralet alltid er et areal. Der grafen er under aksen, teller bidraget negativt.
Feil $\Delta x$ . $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ , ikke 1n (med mindre intervallet har lengde 1).
Å glemme enheter i tolkningen. Enheten til integralet er enheten til $f$ ganger enheten til $x$ .
Å blande Riemannsum og integral. Summen er en tilnærming. Integralet er grenseverdien.

Huskelapp

Riemannsum: $\sum f(x_i)\Delta x$ med $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ .
$\int_a^b f(x)\,dx = \lim\limits_{n \to \infty} \sum f(x_i)\Delta x$
Positiv $f$ : arealet under grafen. Under aksen teller negativt.
Enhet: enheten til $f$ ganger enheten til $x$ (fart · tid = strekning).