Følger og aritmetiske rekker

Utforsk

Start her: utforsk

Ifølge en kjent historie fikk lille Carl Friedrich Gauss en straffeoppgave av læreren sin: Legg sammen alle tallene fra 1 til 100. Læreren regnet med å få fred en stund, men Gauss var ferdig etter noen sekunder. Hvordan?

Søylene er tallene som skal legges sammen, og de oransje punktene er summen så langt. Start med de små summene.

leddene summen så langt

Første ledd 1Økning fra ledd til ledd 1Antall ledd 10

Leddene: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …

Ledd nummer 10: 10. Summen av alle 10 leddene: 55.

Prøv dette:

Sett antall ledd til 10. Hva er $1 + 2 + \dots + 10$ ? Legg så sammen den første og den siste søyla, den andre og den nest siste, og så videre. Hva legger du merke til?
Hvor mange slike par er det? Kan du regne ut summen med én multiplikasjon?
Bruk samme triks på $1 + 2 + \dots + 100$ , og sjekk svaret ditt med modellen (sett antall ledd til 40 først, og regn ut $1 + \dots + 40$ ).
Endre økningen fra ledd til ledd til 2. Virker trikset fortsatt?

Forklaring

Gauss’ triks

Skriv summen forlengs og baklengs, og legg dem sammen:

\begin{aligned} S &= 1 + 2 + 3 + \dots + 100 \\ S &= 100 + 99 + 98 + \dots + 1 \\ 2S &= 101 + 101 + 101 + \dots + 101 = 100 \cdot 101 \end{aligned}

Altså er $S = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$ . Hvert par blir 101, og det er 100 par når vi skriver summen to ganger.

Følger

En følge er en ordnet liste med tall, $a_1, a_2, a_3, \dots$ Tallet $a_n$ kalles ledd nummer $n$ .

Rekker og sumtegnet

En rekke er det vi får når vi legger sammen leddene. Summen av de $n$ første leddene skrives

S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{i=1}^{n} a_i

Aritmetiske følger og rekker

I en aritmetisk følge er differansen $d$ mellom to påfølgende ledd konstant:

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d

Gauss’ triks gir summen: Første og siste ledd, andre og nest siste ledd, og så videre, har alle samme sum $a_1 + a_n$ . Det er n2 slike par, så

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

Med ord: antall ledd ganger gjennomsnittet av første og siste ledd.

Modell: Leddene og delsummene

Samme modell som øverst, nå med formlene. For en aritmetisk rekke vokser delsummene som en parabel. Hvorfor?

leddene

a_n

delsummene

S_n

a_1

1

d

2

n

10

a_n = 1 + (n - 1) \cdot 2

, så

a_{10} = 19

S_{10} = \dfrac{10(a_1 + a_{10})}{2} = 100

Prøv dette:

Velg $a_1 = 1$ og $d = 1$ . Stemmer $S_{10} = 55$ ?
Kan en aritmetisk rekke ha delsum 0 selv om leddene ikke er 0? Prøv en negativ $d$ .

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Finn et ledd

En aritmetisk følge har $a_1 = 7$ og $d = 4$ . Finn $a_{20}$ .

a_{20} = 7 + 19 \cdot 4 = 83

.

Eksempel 2: Summen av oddetallene

Finn summen av de 50 første oddetallene, $1 + 3 + 5 + \dots$

a_1 = 1

,

d = 2

og

a_{50} = 1 + 49 \cdot 2 = 99

.

S_{50} = \dfrac{50(1 + 99)}{2} = 2500 = 50^2

.

Summen av de

n

første oddetallene er alltid

n^2

.

Eksempel 3: Seter i et amfi

Et amfi har 20 seter på første rad, og hver rad har 3 seter mer enn raden foran. Det er 15 rader. Hvor mange seter er det til sammen?

a_1 = 20

,

d = 3

,

a_{15} = 20 + 14 \cdot 3 = 62

.

S_{15} = \dfrac{15(20 + 62)}{2} = 615

seter.

Vanlige feil

$a_n = a_1 + n \cdot d$ . Det er $(n - 1)$ steg fra første til $n$ -te ledd.
Å bruke $S_n$ når det spørres om $a_n$ . $a_n$ er ett ledd, $S_n$ er summen av mange.
Å glemme å dele på 2. $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .
Å bruke formelen på rekker som ikke er aritmetiske. Sjekk at differansen virkelig er konstant.

Huskelapp

Følge: $a_1, a_2, a_3, \dots$ Rekke: $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$
$S_n = \sum_{i=1}^{n} a_i$
Aritmetisk: $a_n = a_1 + (n - 1)d$ og $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ .
$1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$