Antideriverte og integrasjonsregler

Utforsk

Start her: utforsk

Fartsmåleren i en bil viser farten hvert øyeblikk. Kan du ut fra den finne ut hvor bilen er?

En bil starter et stykke fra et kryss og kjører bort fra krysset. Farten etter $t$ sekunder er $2t$ meter per sekund (oransje). Den blå grafen viser hvor langt fra krysset bilen er.

avstand fra krysset (m)fart (m/s)

Tid (s)2Startavstand (m)3

Etter 2 s er farten 4 m/s, og bilen er 7 m fra krysset.

Bilen har kjørt 4 m. Det oransje arealet under fartsgrafen er også 4.

Prøv dette:

Hvor langt har bilen kjørt etter 1, 2 og 3 sekunder? Ser du et mønster?
Hvilken funksjon har $2t$ som derivert? Stemmer det med den blå grafen?
Endre startavstanden. Hva skjer med den blå grafen? Hva skjer med farten?
Kan du finne ut hvor bilen er bare ved å se på fartsmåleren? Hva mer må du vite?

Forklaring

Antideriverte

I bilmodellen var farten $2t$ , og avstanden fra krysset var $t^2 + C$ , der $C$ er startavstanden. Farten er den deriverte av avstanden: $(t^2 + C)' = 2t$ . Vi gikk baklengs: fra den deriverte (farten) til funksjonen (avstanden). Svaret er bare bestemt opp til en konstant, fordi det å flytte en graf opp eller ned ikke endrer stigningstallet.

$F$ er en antiderivert til $f$ hvis $F'(x) = f(x)$ . For eksempel er $x^2$ en antiderivert til $2x$ . Men det er også $x^2 + 5$ og $x^2 - 17$ . Alle antideriverte skrives

\int f(x)\,dx = F(x) + C

Dette kalles det ubestemte integralet, og $C$ er integrasjonskonstanten.

Reglene

Hver regel er en derivasjonsregel lest baklengs. Du kan alltid sjekke svaret ved å derivere.

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$	Sjekk
$x^n$ , $n \neq -1$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = x^n$
1x	$\ln\lvert x\rvert + C$	$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
$e^x$	$e^x + C$
$e^{kx}$	$\dfrac{1}{k}e^{kx} + C$	$\left(\frac{1}{k}e^{kx}\right)' = e^{kx}$
$\sin x$	$-\cos x + C$	$(-\cos x)' = \sin x$
$\cos x$	$\sin x + C$

Linearitet

\int \big(a f(x) + b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx

Konstanter kan settes utenfor, og summer integreres ledd for ledd.

Startbetingelser

Kjenner vi ett punkt på grafen, for eksempel $F(0) = 2$ , kan vi bestemme $C$ .

Modell: Mange antideriverte

Alle de blå grafene er antideriverte til $f(x) = x^2 - 1$ . Endre $C$ : Grafen flyttes opp og ned, men stigningstallet i hvert punkt er det samme. Den oransje grafen er $f$ .

F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 - x + C

f(x) = x^2 - 1

C

0

Punktet:

(0,\ 0)

Prøv dette:

Hvor har de blå grafene vannrett tangent? Hva er $f$ der?
Velg $C$ slik at grafen går gjennom origo. Hvilken $C$ er det?

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Polynom

Finn $\displaystyle\int (3x^2 - 4x + 5)\,dx$ .

Ledd for ledd:

3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C

.

= x^3 - 2x^2 + 5x + C

. Sjekk:

(x^3 - 2x^2 + 5x)' = 3x^2 - 4x + 5

✓.

Eksempel 2: Blandet

Finn $\displaystyle\int \left(\frac{2}{x} + e^{3x} + \sqrt{x}\right)dx$ .

\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln\lvert x\rvert

og

\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}

.

\sqrt{x} = x^{1/2}

gir

\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}

.

Svar:

2\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C

.

Eksempel 3: Startbetingelse

En ball har fart $v(t) = 20 - 9{,}81t$ m/s, og startposisjonen er $s(0) = 2$ m. Finn $s(t)$ .

s(t) = \int (20 - 9{,}81t)\,dt = 20t - 4{,}905t^2 + C

.

s(0) = C = 2

.

s(t) = 20t - 4{,}905t^2 + 2

.

Vanlige feil

Å glemme $+ C$ . Det ubestemte integralet er en hel familie av funksjoner.
$\int x^n\,dx = x^{n+1}$ . Du må dele på $n + 1$ .
$\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0}$ . Potensregelen virker ikke for $n = -1$ . Svaret er $\ln\lvert x\rvert$ .
$\int \sin x\,dx = \cos x$ . Riktig er $-\cos x$ . Deriver for å sjekke.
$\int e^{3x}\,dx = e^{3x}$ . Husk 13.

Huskelapp

$F' = f \iff \int f\,dx = F + C$
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ( $n \neq -1$ ), $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$
$\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$
$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ , $\int \cos x\,dx = \sin x + C$
Sjekk alltid ved å derivere.