Analysens fundamentalteorem · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Et badekar fylles fra en kran. Hvor mye vannet renner inn med, varierer. Grafen viser hvor mange liter per minutt som renner inn. Hvor mye vann er det i karet etter en stund, og hvor fort øker vannmengden akkurat nå?

Flytt tiden. Det blå arealet er vannet som har rent inn så langt.

det som renner inn (liter per minutt)

Tid (minutter)2

Akkurat nå renner det inn 2 liter per minutt.

Til sammen har det rent inn 3,33 liter (det blå arealet).

Prøv dette:

Flytt tiden ett kvarter minutt fram. Hvor mye øker vannmengden? Sammenlign med hvor mye som renner inn per minutt akkurat da.
Når øker vannmengden raskest? Hvordan ser du det på grafen?
Hva skjer med vannmengden etter 4,5 minutter, når grafen går under aksen? Hva kan det bety for badekaret?

Forklaring

Arealfunksjonen

Vannmengden i karet er summen av alt som har rent inn, altså arealet under grafen. Og hvor fort øker mengden akkurat nå? Like fort som kranen renner! Stigningstallet til arealet er høyden til grafen. Denne tilsynelatende enkle observasjonen er analysens fundamentalteorem.

La $A(x)$ være arealet under grafen til $f$ fra et fast punkt $a$ til en variabel $x$ :

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt

Del 1: A’(x) = f(x)

Øker vi $x$ med en liten $h$ , vokser arealet med en tynn stripe med bredde $h$ og høyde omtrent $f(x)$ :

A(x + h) - A(x) \approx f(x) \cdot h \quad \Rightarrow \quad \frac{A(x + h) - A(x)}{h} \approx f(x)

Når $h \to 0$ , blir tilnærmingen eksakt (for kontinuerlige $f$ ). Altså er $A'(x) = f(x)$ : arealfunksjonen er en antiderivert til $f$ .

Modell: Arealfunksjonen og grafen

Flytt $x$ . Øverst ser du arealet under $f$ . Nederst er arealfunksjonen $A(x)$ . Stigningstallet til $A$ (den oransje tangenten) er alltid lik høyden $f(x)$ (den oransje streken øverst).

Grafen til

f(t) = 1 + t - \tfrac{t^2}{4}

med arealet fra

0

til

x

Arealfunksjonen

A(x)

, med tangent i

x

x

3

Areal:

A(3) = \displaystyle\int_{0}^{3} \left(1 + t - \tfrac{t^2}{4}\right)dt \approx 5{,}25

Stigningstall til

A

:

A'(3) \approx 1{,}75

, og høyden til grafen:

f(3) = 1{,}75

. De er like!

Prøv dette:

Hvor er $A(x)$ størst? Hva er $f$ der?
Hva skjer med $A$ når grafen til $f$ går under $x$ -aksen?

Del 2: Regn ut integraler med antideriverte

La $F$ være en hvilken som helst antiderivert til $f$ . Siden $A$ også er en antiderivert, er $A(x) = F(x) + C$ . Fra $A(a) = 0$ får vi $C = -F(a)$ , og dermed

\int_a^b f(x)\,dx = A(b) = F(b) - F(a)

Vi skriver ofte $\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$ .

Konsekvenser

Integraler kan regnes ut eksakt uten Riemannsummer.
Den totale endringen av en størrelse er integralet av endringsfarten: $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .
Enhver kontinuerlig funksjon har en antiderivert (arealfunksjonen), selv om vi ikke kan skrive den med kjente funksjoner.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Et bestemt integral

Regn ut $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$ .

En antiderivert er

F(x) = \frac{x^3}{3}

.

\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67

. Det stemmer med Riemannsummene.

Eksempel 2: Trigonometrisk

Regn ut $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ .

\big[-\cos x\big]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2

.

Arealet under én bue av sinusgrafen er nøyaktig 2.

Eksempel 3: Total endring

Vann renner inn i en tank med farten $r(t) = 3t^2 + 2$ liter per minutt. Hvor mye vann renner inn de første 4 minuttene?

Total endring

= \displaystyle\int_0^4 (3t^2 + 2)\,dt = \big[t^3 + 2t\big]_0^4

.

= 64 + 8 - 0 = 72

liter.

Eksempel 4: Derivere et integral

Finn $g'(x)$ når $g(x) = \displaystyle\int_1^x e^{-t^2}\,dt$ .

Vi kan ikke skrive en antiderivert til

e^{-t^2}

med kjente funksjoner. Men det trenger vi ikke.

Del 1 av teoremet gir direkte

g'(x) = e^{-x^2}

.

Vanlige feil

$F(a) - F(b)$ . Rekkefølgen er øvre grense minus nedre grense: $F(b) - F(a)$ .
Å ta med $+ C$ i et bestemt integral. Konstanten forsvinner i differansen, så den trengs ikke.
Å glemme å sette inn den nedre grensen. $\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3}$ , ikke bare 83.
Å tro at integralet alltid gir areal. Under $x$ -aksen teller det negativt.

Huskelapp

$A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ har $A'(x) = f(x)$ .
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b$
Total endring: $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$

Start her: utforsk

Forklaring

Arealfunksjonen

Del 1: A’(x) = f(x)

Modell: Arealfunksjonen og grafen

Del 2: Regn ut integraler med antideriverte

Konsekvenser

Gjennomgåtte eksempler

Vanlige feil

Huskelapp

Øv selv