Når er en funksjon deriverbar?

Utforsk

Start her: utforsk

Ta et forstørrelsesglass og hold det over en glatt kurve. Jo mer du forstørrer, jo mer ligner kurven en rett linje. Gjelder det alle grafer?

Velg en funksjon og dra i zoomen.

$f(x) = x^2$ , rundt punktet $x = 1$

Stigning til venstre: 1

Stigning til høyre: 3

Zoomer du nok inn, blir stigningen lik på begge sider og grafen ser ut som en rett linje. Funksjonen er deriverbar her.

Zoom

Prøv dette:

Zoom inn på en glatt graf. Hva ser du til slutt?
Finn en graf og et punkt der grafen ikke blir til en rett linje, uansett hvor mye du zoomer. Hvordan ser den ut?
Hva betyr det for stigningstallet i det punktet?

Forklaring

Definisjonen

I zoommodellen ble glatte grafer til rette linjer. Stigningstallet til den linja er den deriverte. Men $\lvert x \rvert$ i $x = 0$ forble en V uansett hvor mye du zoomet: Stigningstallet er $-1$ rett til venstre og $1$ rett til høyre. Det finnes ingen ene linje som passer, og derfor ingen derivert i det punktet.

En funksjon er deriverbar i $x = a$ hvis grenseverdien

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

finnes, altså er et endelig tall og det samme fra begge sider.

Tre måter å ikke være deriverbar på

Type	Eksempel	Hva skjer med stigningstallet
Spiss (knekkpunkt)	$\lvert x \rvert$ i $x = 0$	$-1$ fra venstre, $1$ fra høyre
Hopp	trappefunksjon	grafen er ikke engang kontinuerlig
Loddrett tangent	$\sqrt[3]{x}$ i $x = 0$	vokser uten grense

Deriverbar og kontinuerlig

En deriverbar funksjon er alltid kontinuerlig. Har grafen et hopp, kan den ikke ha en tangent der.
Men en kontinuerlig funksjon er ikke alltid deriverbar. $\lvert x \rvert$ er kontinuerlig i 0, men har en spiss.

Funksjoner med delt forskrift

For en funksjon med delt forskrift sjekker vi to ting i skjøten $x = a$ :

Kontinuitet: Møtes delene? (samme funksjonsverdi fra begge sider)
Lik stigning: Har delene samme stigningstall i skjøten? (samme derivert fra begge sider)

Er begge oppfylt, er funksjonen deriverbar i skjøten. Grafen går da «glatt» over fra den ene delen til den andre.

Modell: Lag en glatt skjøt

Funksjonen er $x^2$ for $x \leq 1$ og $ax + b$ for $x > 1$ . Juster $a$ og $b$ slik at delene både møtes og har samme stigning i $x = 1$ .

x^2,\ x \leq 1

ax + b,\ x > 1

a

1

b

1

Hopp i skjøten:

1

(må være 0)

Forskjell i stigning:

|a - 2| = 1

(må være 0)

Prøv dette:

Finn $a$ og $b$ som gir en glatt skjøt. Stemmer det med regningen: $a + b = 1$ og $a = 2$ ?
Finn en kombinasjon der delene møtes, men lager en spiss.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Absoluttverdi

Er $f(x) = |x - 2|$ deriverbar i $x = 2$ ?

For

x > 2

er

f(x) = x - 2

, med stigningstall 1.

For

x < 2

er

f(x) = -(x - 2) = 2 - x

, med stigningstall

-1

.

Stigningen er ulik fra hver side. Grafen har en spiss i

(2, 0)

, og

f

er ikke deriverbar der.

Eksempel 2: Glatt skjøt

Bestem $a$ og $b$ slik at $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ ax + b & x > 1 \end{cases}$ blir deriverbar.

Kontinuitet i $x = 1$ :

1^2 = a \cdot 1 + b

, altså

a + b = 1

.

Lik stigning i $x = 1$ :

(x^2)' = 2x

gir 2 fra venstre, og

(ax + b)' = a

fra høyre. Altså

a = 2

.

Da er

b = 1 - 2 = -1

. Den høyre delen er

2x - 1

, som er nettopp tangenten til

x^2

i

x = 1

.

Eksempel 3: Loddrett tangent

Er $g(x) = \sqrt[3]{x}$ deriverbar i $x = 0$ ?

Differansekvotienten er

\dfrac{\sqrt[3]{h} - 0}{h} = \dfrac{1}{h^{2/3}}

.

Når

h \to 0

, vokser denne uten grense. Grafen har en loddrett tangent, og

g

er ikke deriverbar i 0 (selv om den er kontinuerlig).

Vanlige feil

Å tro at kontinuerlig betyr deriverbar. $|x|$ er et moteksempel.
Å sjekke bare kontinuitet i skjøten. For deriverbarhet må også stigningstallene være like.
Å sjekke bare stigningen i skjøten. Er delene ikke kontinuerlige, hjelper det ikke at stigningen er lik.
Å tro at loddrett tangent betyr «stigningstall uendelig». $\infty$ er ikke et tall, så den deriverte finnes ikke.

Huskelapp

Deriverbar i $a$ : grenseverdien av differansekvotienten finnes (endelig og lik fra begge sider).
Ikke deriverbar: spiss, hopp eller loddrett tangent.
Deriverbar ⇒ kontinuerlig, men ikke omvendt.
Delt forskrift: både kontinuitet og lik derivert i skjøten.