Kontinuitet · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Temperaturen ute endrer seg jevnt. Den hopper ikke fra 5 til 12 grader på et øyeblikk. Prisen på parkering er annerledes: Koster det 30 kr per påbegynt time, hva skjer da med prisen når klokka passerer en hel time?

Dra punktet langs grafen og les av prisen.

parkeringsavgift

Punktet:

(2{,}5,\ 90)

Prøv dette:

Hva koster det å stå parkert i 59 minutter? I 61 minutter?
Hva skjer med prisen akkurat når du passerer 1 time, 2 timer og 3 timer?
Kunne du tegnet denne grafen uten å løfte blyanten? Kunne du tegnet temperaturen ute gjennom et døgn uten å løfte blyanten?

Forklaring

Definisjonen

Temperaturen kan tegnes uten å løfte blyanten. Parkeringsprisen kan ikke: Den er 30 kr i 59 minutter, og så hopper den til 60 kr. Grafen har trappetrinn. Rett før 1 time er prisen på vei mot 30 kr, men rett etter er den 60 kr. Den første funksjonen er kontinuerlig, den andre diskontinuerlig. Kontinuitet er den matematiske måten å si «uten hopp og hull» på.

Presist: En funksjon $f$ er kontinuerlig i $x = a$ hvis

$f(a)$ er definert,
$\lim\limits_{x \to a} f(x)$ finnes, og
$\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Kort sagt: grafen går dit du forventer. Grenseverdien (der grafen er på vei) og funksjonsverdien (der punktet faktisk ligger) er det samme.

Er ett av kravene brutt, er $f$ diskontinuerlig i $a$ . Det skjer typisk ved et hopp (krav 2 brutt) eller et flyttet punkt (krav 3 brutt).

Kontinuerlig i definisjonsmengden

En funksjon er kontinuerlig hvis den er kontinuerlig i alle punkter i definisjonsmengden. Polynomer, $e^x$ , $\ln x$ , $\sqrt{x}$ og brøkfunksjoner er alle kontinuerlige.

Det kan virke rart at 1x er kontinuerlig, siden grafen har et brudd. Men $x = 0$ er ikke med i definisjonsmengden, så det finnes ikke noe punkt der funksjonen «hopper». Kontinuitet vurderes bare i punkter der funksjonen er definert.

Funksjoner med delt forskrift

Den viktigste typen oppgave er en funksjon med delt forskrift:

f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \leq 1 \\ ax - 1 & x > 1 \end{cases}

Hver del er kontinuerlig for seg. Spørsmålet er om delene møtes i skjøten $x = 1$ . Da sammenligner vi de ensidige grenseverdiene:

Fra venstre: $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 1 = 2$ , og dette er også $f(1)$ .
Fra høyre: $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = a \cdot 1 - 1 = a - 1$ .

Funksjonen er kontinuerlig når $a - 1 = 2$ , altså når $a = 3$ .

Modell: Tett igjen hoppet

Dra i $a$ til de to delene møtes. Den fylte prikken er $f(1)$ . Den åpne prikken viser hvor den høyre delen starter.

x^2 + 1,\ x \leq 1

ax - 1,\ x > 1

a

1

Fra venstre:

2

. Fra høyre:

a - 1 = 0

.

Hoppet i skjøten:

2

. Funksjonen er kontinuerlig når hoppet er 0.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Er funksjonen kontinuerlig?

Er $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases}$ kontinuerlig i $x = 2$ ?

f(2) = 2^2 = 4

(siden

x \geq 2

bruker det nederste uttrykket).

Fra venstre:

\lim\limits_{x \to 2^-} (2x + 1) = 5

. Fra høyre:

\lim\limits_{x \to 2^+} x^2 = 4

.

De ensidige grenseverdiene er ulike (5 og 4), så grenseverdien finnes ikke. Funksjonen er diskontinuerlig i

x = 2

.

Eksempel 2: Bestem parameteren

Bestem $k$ slik at $g(x) = \begin{cases} kx^2 & x \leq 2 \\ x + 6 & x > 2 \end{cases}$ blir kontinuerlig.

Fra venstre (og

g(2)

):

k \cdot 2^2 = 4k

.

Fra høyre:

2 + 6 = 8

.

Kontinuitet krever

4k = 8

, altså

k = 2

.

Eksempel 3: Et flyttet punkt

La $h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ for $x \neq 1$ og $h(1) = 5$ . Er $h$ kontinuerlig i $x = 1$ ?

h(1) = 5

er definert.

\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2

. Grenseverdien finnes.

Men

2 \neq 5

, så krav 3 er brutt.

h

er diskontinuerlig i

x = 1

. Setter vi i stedet

h(1) = 2

, blir den kontinuerlig.

Vanlige feil

Å si at 1x er diskontinuerlig i 0. Kontinuitet vurderes bare i punkter i definisjonsmengden, og 0 er ikke med.
Å sjekke bare de ensidige grenseverdiene. Også $f(a)$ må stemme med grenseverdien.
Å bruke feil uttrykk i skjøten. Se nøye på $<$ og $\leq$ for å finne hvilket uttrykk som gir $f(a)$ .
Å tro at kontinuerlig betyr deriverbar. $|x|$ er kontinuerlig i 0, men har en spiss der og er ikke deriverbar.

Huskelapp

$f$ er kontinuerlig i $a$ når $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ (og begge finnes).
Delt forskrift: sammenlign venstre grenseverdi, høyre grenseverdi og $f(a)$ .
Kontinuitet vurderes bare i definisjonsmengden.
Diskontinuerlige funksjoner brukes for ting som endrer seg i sprang: avgifter per påbegynt enhet, brytere, trappetrinn.