Skalarproduktet · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Du drar en kjelke med et tau. Holder du tauet rett fram, går all kraften til å dra kjelken framover. Holder du tauet skrått oppover, går noe av kraften til å løfte. Hvor mye av kraften hjelper deg framover?

Den oransje pila er kraften i tauet. Tenk deg at sola står rett over deg: Den grønne streken er skyggen av tauet på bakken, og den er kraften som drar framover.

Vinkel med bakken (grader)30Kraft i tauet (N)150

Kraft i tauet: 150 N. Kraft framover (skyggen): 129,9 N.

Andel av kraften som drar framover: 87 %

Prøv dette:

Hvor stor andel av kraften drar framover når tauet er vannrett? Når det står rett opp?
Finn vinkelen der akkurat halvparten av kraften drar framover.
Dra vinkelen forbi 90°. Hva skjer med skyggen? Hva betyr det for kjelken?

Forklaring

Vi bygger opp skalarproduktet i fem steg. Ta dem ett om gangen.

Steg 1: Skyggen av en vektor

På kjelken var det skyggen av tauet som telte: den delen av kraften som peker i fartsretningen. Med 30° og 150 N var skyggen $150 \cdot \cos 30° \approx 130$ N. Ved 60° var den halvparten, fordi $\cos 60° = 0{,}5$ . Skalarproduktet bygger på nettopp denne skyggen. Det måler hvor mye to vektorer «drar samme vei».

Tegn $\vec u$ og $\vec v$ fra samme punkt, med vinkelen $\theta$ mellom dem. Lys rett ned på linja til $\vec u$ . Da kaster $\vec v$ en skygge langs $\vec u$ .

Skyggen, $\vec v$ og den stiplede loddlinja danner en rettvinklet trekant. $\vec v$ er hypotenusen, og skyggen er den hosliggende kateten. Fra rettvinklede trekanter vet vi at

\text{skyggen} = |\vec v| \cdot \cos\theta

Er vinkelen stump (over $90°$ ), er $\cos\theta$ negativ. Da peker skyggen motsatt vei av $\vec u$ , og vi regner den som negativ.

Steg 2: Skalarproduktet er lengde ganger skygge

Skalarproduktet $\vec u \cdot \vec v$ er lengden av $\vec u$ ganget med skyggen av $\vec v$ :

\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos\theta

Svaret er et tall (en skalar), ikke en vektor. Derav navnet.

Steg 3: Fortegnet forteller om vinkelen

Lengdene er alltid positive, så det er $\cos\theta$ som bestemmer fortegnet:

$\vec u \cdot \vec v$	Skyggen	Vinkelen $\theta$
positiv	peker samme vei som $\vec u$	spiss, under $90°$
$0$	finnes ikke	rett, $90°$
negativ	peker motsatt vei av $\vec u$	stump, over $90°$

Vektorer som står vinkelrett på hverandre, har et eget deltema: Vinkelrette vektorer og vinkler.

Modell: Skalarproduktet er en cosinus-kurve

Her ligger $\vec u = [4, 0]$ fast. $\vec v$ har lengde $r$ og roteres vinkelen $\theta$ . Den grønne streken er skyggen av $\vec v$ langs $x$ -aksen. Grafen under viser skalarproduktet for alle vinkler. Legg merke til formen.

Skalarproduktet

\vec u \cdot \vec v

som funksjon av vinkelen

\theta

(i grader)

\theta

50

r

3

\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos\theta = 4 \cdot 3 \cdot \cos 50° = 7{,}71

Grafen er

4r\cos\theta

: en cosinus-kurve med amplitude

4r = 12

.

Prøv dette:

For hvilke vinkler er skalarproduktet 0? Hvor krysser grafen aksen?
Hva er det største skalarproduktet du kan få med $r = 3$ ? For hvilken vinkel?
Endre $r$ . Hvorfor blir kurven høyere, men krysser aksen på samme sted?

Steg 4: Det samme tallet med koordinater

For $\vec u = [x_1, y_1]$ og $\vec v = [x_2, y_2]$ gir denne enkle formelen nøyaktig det samme tallet:

\vec u \cdot \vec v = x_1 x_2 + y_1 y_2

Sjekk med $\vec u = [4, 0]$ og $\vec v = [3, 3]$ . Koordinatene gir $4 \cdot 3 + 0 \cdot 3 = 12$ . Med lengder og vinkel: $|\vec u| = 4$ , $|\vec v| = \sqrt{18}$ og $\theta = 45°$ , så $4 \cdot \sqrt{18} \cdot \cos 45° = 4 \cdot \sqrt{18} \cdot \frac{\sqrt 2}{2} = 4 \cdot 3 = 12$ . Likt!

Les mer Hvorfor gir de to formlene alltid det samme?

Tegn $\vec u$ og $\vec v$ fra samme punkt. Den tredje siden i trekanten er $\vec v - \vec u$ . Cosinussetningen gir

|\vec v - \vec u|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2|\vec u||\vec v|\cos\theta

På koordinatform er venstresiden

(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = \underbrace{x_1^2 + y_1^2}_{|\vec u|^2} + \underbrace{x_2^2 + y_2^2}_{|\vec v|^2} - 2(x_1 x_2 + y_1 y_2)

$|\vec u|^2 + |\vec v|^2$ står på begge sider. Da må resten også være likt: $|\vec u||\vec v|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2$ .

Modell: Skyggen og de to formlene

Dra i spissene til $\vec u$ og $\vec v$ . Den grønne streken er skyggen av $\vec v$ på linja til $\vec u$ . Følg med på at de to formlene alltid gir samme tall.

Koordinater:

\vec u \cdot \vec v = 5 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 14

Lengder og vinkel:

|\vec u| \cdot |\vec v| \cdot \cos\theta = 5{,}1 \cdot 4{,}47 \cdot \cos(52{,}1°) \approx 14

Skyggen er

2{,}75

, og

|\vec u| \cdot \text{skygge} = 5{,}1 \cdot 2{,}75 \approx 14

Positivt: Skyggen peker samme vei som

\vec u

. Vinkelen er spiss.

Prøv dette:

Forutsi: Hva skjer med skalarproduktet hvis du gjør $\vec u$ dobbelt så lang? Sjekk.
Dra $\vec v$ rundt i en sirkel. Når er skalarproduktet størst? Når er det minst?
Trykk «parallell». Hva blir skalarproduktet nå, sammenlignet med $|\vec u|^2$ ?

Steg 5: Finn vinkelen

Nå har vi to formler for samme tall. Den ene inneholder vinkelen, den andre er lett å regne ut. Setter vi dem lik hverandre og løser for $\cos\theta$ , får vi

\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{|\vec u| \cdot |\vec v|}

Oppskrift:

Regn ut $\vec u \cdot \vec v$ med koordinater.
Regn ut lengdene $|\vec u|$ og $|\vec v|$ .
Del: $\cos\theta = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u||\vec v|}$ .
Finn $\theta$ med $\cos^{-1}$ på kalkulatoren (i grader).

Nyttige regler

$\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u$
$\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2$ , fordi vinkelen mellom $\vec u$ og seg selv er $0°$ og $\cos 0° = 1$ .
$\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$
$(t\vec u) \cdot \vec v = t(\vec u \cdot \vec v)$

Arbeid i fysikk

Arbeidet en kraft $\vec F$ gjør langs en forflytning $\vec s$ , er kraften i fartsretningen (skyggen) ganget med strekningen:

W = \vec F \cdot \vec s = |\vec F||\vec s|\cos\theta

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Regn ut skalarproduktet

Finn $[2, 3] \cdot [4, -1]$ .

2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5

.

Skalarproduktet er positivt, så vinkelen mellom vektorene er spiss.

Eksempel 2: Fra lengder og vinkel

$|\vec u| = 3$ , $|\vec v| = 4$ og vinkelen mellom dem er $60°$ . Finn $\vec u \cdot \vec v$ .

\vec u \cdot \vec v = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60° = 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6

.

Eksempel 3: Vinkelen mellom to vektorer

Finn vinkelen mellom $\vec u = [1, 2]$ og $\vec v = [3, 1]$ .

Steg 1:

\vec u \cdot \vec v = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 5

.

Steg 2:

|\vec u| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt 5

og

|\vec v| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}

.

Steg 3:

\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt 5 \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{1}{\sqrt 2} \approx 0{,}707

.

Steg 4:

\theta = \cos^{-1}(0{,}707) = 45°

.

Eksempel 4: Skyggen

Hvor lang er skyggen av $\vec v = [3, 4]$ på $\vec u = [4, 0]$ ?

Skyggen er

|\vec v|\cos\theta = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|}

.

\dfrac{12 + 0}{4} = 3

. Det stemmer med figuren:

\vec v

går 3 bortover langs

x

-aksen.

Eksempel 5: Arbeid

Du drar en kjelke 10 m med en kraft på 50 N. Tauet danner 30° med bakken. Hvor mye arbeid gjør du?

W = |\vec F||\vec s|\cos\theta = 50 \cdot 10 \cdot \cos 30°

.

W = 500 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 433

J.

Vanlige feil

Å tro at svaret er en vektor. $[2, 3] \cdot [4, -1] = 5$ , ikke $[8, -3]$ .
Å legge sammen i stedet for å gange. $x_1 x_2 + y_1 y_2$ , ikke $(x_1 + x_2)(y_1 + y_2)$ .
Kalkulatoren i radianer. Når du finner vinkelen med $\cos^{-1}$ , sjekk at kalkulatoren står i grader.
Å glemme å dele på lengdene. $\cos\theta$ er skalarproduktet delt på $|\vec u||\vec v|$ .
Negativ skygge. Er vinkelen stump, er skyggen negativ. Det er ikke en regnefeil.

Huskelapp

Skyggen av $\vec v$ på $\vec u$ : $|\vec v|\cos\theta$ .
$\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot \text{skygge} = |\vec u||\vec v|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2$
Positivt: spiss vinkel. $0$ : vinkelrett. Negativt: stump vinkel.
$\cos\theta = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u||\vec v|}$
$\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2$
Arbeid: $W = \vec F \cdot \vec s$

Start her: utforsk

Forklaring

Steg 1: Skyggen av en vektor

Steg 2: Skalarproduktet er lengde ganger skygge

Steg 3: Fortegnet forteller om vinkelen

Modell: Skalarproduktet er en cosinus-kurve

Steg 4: Det samme tallet med koordinater

Modell: Skyggen og de to formlene

Steg 5: Finn vinkelen

Nyttige regler

Arbeid i fysikk

Gjennomgåtte eksempler

Vanlige feil

Huskelapp

Øv selv