Vinkelrette vektorer og vinkler

Vektorer på 90 grader, vinkler i trekanter og riktig vektorpar i hjørnet. Med Thales' setning som bonus.

R1
Fint å kunne først: Skalarproduktet
Utforsk

Start her: utforsk

En snekker skal bygge en terrasse og må ha helt rette hjørner. Hvordan kan hun sjekke at et hjørne er rett, uten vinkelmåler?

Hjørnet er i origo, og rutene er meter. Dra i endene av de to kantene.

−2−11234567−2−1123456
Kant 1: 4,12 m. Kant 2: 3 m. Diagonal (stiplet): 4,47 m.
Et hemmelig tall: 4 · 0 + 1 · 3 = 3

Prøv dette:

  1. Lag et rett hjørne med kanter på 3 m og 4 m. Hvor lang er diagonalen? Hvorfor?
  2. Se på det hemmelige tallet. Hva er det når hjørnet er rett? Når vinkelen er spiss? Når den er stump?
  3. Finn et rett hjørne der ingen av kantene ligger langs aksene. Stemmer det du fant i spørsmål 2 fortsatt?
Forklaring

Forklaring

Vinkelrett betyr skalarprodukt 0

Snekkerens triks er 3-4-5: Mål 3 m langs den ene kanten og 4 m langs den andre. Er diagonalen nøyaktig 5 m, er hjørnet rett. Det er Pytagoras baklengs. Men det hemmelige tallet i modellen var enda enklere: Det var 0 hver gang hjørnet var rett. Det tallet er skalarproduktet x1x2+y1y2x_1x_2 + y_1y_2 av de to kantene. Du trenger ikke måle noen lengder.

To vektorer (ikke nullvektoren) står vinkelrettVinkelrette vektorerTo vektorer står vinkelrett på hverandre nøyaktig når skalarproduktet er 0. på hverandre nøyaktig når

u⃗⊥v⃗⟺u⃗⋅v⃗=0\vec u \perp \vec v \quad\Longleftrightarrow\quad \vec u \cdot \vec v = 0

Hvorfor? Står vektorene vinkelrett, kaster v⃗\vec v ingen skygge på u⃗\vec u. Og cos⁡90°=0\cos 90° = 0, så ∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡90°=0|\vec u||\vec v|\cos 90° = 0. Omvendt: Er skalarproduktet 0 og ingen av vektorene er nullvektoren, må cos⁡θ=0\cos\theta = 0, altså θ=90°\theta = 90°.

Snarvei: Drei 90°

Bytt om koordinatene og skift fortegn på én av dem. Da får du en vektor som står vinkelrett på den første:

[a,b]⊥[−b,a][a, b] \perp [-b, a]

Sjekk: a⋅(−b)+b⋅a=0a \cdot (-b) + b \cdot a = 0. Også [b,−a][b, -a] virker, og alle vektorer som er parallelle med disse.

Bestem en ukjent

Skal [t,2][t, 2] stå vinkelrett på [3,−6][3, -6]? Sett skalarproduktet lik 0 og løs: 3t−12=03t - 12 = 0, så t=4t = 4.

Modell: Finn tt slik at vinkelen i CC er 90°90°

Her er A(−3,0)A(-3, 0) og B(3,0)B(3, 0) faste, og C(t,h)C(t, h). Vinkelen i CC er rett når CA⃗⋅CB⃗=0\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0. Grafen under viser skalarproduktet som funksjon av tt.

−6−5−4−3−2−1123456−112345
CA⃗⋅CB⃗\vec{CA} \cdot \vec{CB} som funksjon av tt
−5−4−3−2−112345−10−55101520
CA⃗=[−3−t, −h]\vec{CA} = [-3 - t,\ -h] og CB⃗=[3−t, −h]\vec{CB} = [3 - t,\ -h]
CA⃗⋅CB⃗=(−3−t)(3−t)+h2=t2−9+h2=−4\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-3 - t)(3 - t) + h^2 = t^2 - 9 + h^2 = -4

Prøv dette:

  1. Løs t2−9+h2=0t^2 - 9 + h^2 = 0 for h=2h = 2. Stemmer det med figuren?
  2. Hvor mange løsninger er det når h<3h < 3, h=3h = 3 og h>3h > 3? Se på grafen.
  3. Hvor ligger alle punktene CC som gir rett vinkel?
Les mer Thales' setning

Alle løsningene ligger på sirkelen med ABAB som diameter. Det er Thales’ setning: En vinkel som «står på» en diameter, er alltid 90°90°.

Med vektorer er beviset kort. La sentrum være origo, så A=−r⃗A = -\vec r og B=r⃗B = \vec r der ∣r⃗∣|\vec r| er radien. For et punkt CC med posisjonsvektor c⃗\vec c er

CA⃗⋅CB⃗=(−r⃗−c⃗)⋅(r⃗−c⃗)=∣c⃗∣2−∣r⃗∣2\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-\vec r - \vec c) \cdot (\vec r - \vec c) = |\vec c|^2 - |\vec r|^2

Dette er 0 nøyaktig når ∣c⃗∣=∣r⃗∣|\vec c| = |\vec r|, altså når CC ligger på sirkelen.

Vinkelen i et hjørne av en trekant

For å finne vinkelen i hjørnet BB i trekanten ABCABC bruker du de to vektorene som starter i BB: BA⃗\vec{BA} og BC⃗\vec{BC}.

cos⁡∠B=BA⃗⋅BC⃗∣BA⃗∣⋅∣BC⃗∣\cos \angle B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}

Modell: Riktig vektorpar i hjørnet

Dra i hjørnene. Bytt til «Den vanlige feilen» og se hva som skjer når den ene pila peker inn mot BB.

−6−5−4−3−2−11234567−4−3−2−1123456
BA⃗=[−7,−1]\vec{BA} = [-7, -1] og BC⃗=[−3,5]\vec{BC} = [-3, 5], så BA⃗⋅BC⃗=16\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 16
cos⁡∠B=167,07⋅5,83\cos\angle B = \dfrac{ 16 }{ 7{,}07 \cdot 5{,}83 }, så ∠B≈67,2°\angle B \approx 67{,}2°
Kontroll: ∠A+∠B+∠C≈48,2°+67,2°+64,7°=180°\angle A + \angle B + \angle C \approx 48{,}2° + 67{,}2° + 64{,}7° = 180°

Prøv dette:

  1. Lag en rett vinkel i BB. Hva viser den feile metoden da? Hvorfor er det farlig?
  2. Gjør ∠B\angle B stump. Hvilket fortegn har BA⃗⋅BC⃗\vec{BA} \cdot \vec{BC}?

Er trekanten rettvinklet?

Regn ut skalarproduktet i hvert hjørne. Blir ett av dem 0, er trekanten rettvinklet i det hjørnet.

Spiss, rettvinklet eller stump trekant?

Fortegnet til skalarproduktet i et hjørne forteller hva slags vinkel det er: Positivt gir spiss vinkel, 0 gir rett vinkel og negativt gir stump vinkel. En trekant er spiss når alle tre vinklene er spisse, rettvinklet når én er rett, og stump når én er stump. I sjekkpunktene under ligger A(−5,0)A(-5, 0) og B(5,0)B(5, 0) fast.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Står de vinkelrett?

Står [3,4][3, 4] og [−8,6][-8, 6] vinkelrett på hverandre?

3⋅(−8)+4⋅6=−24+24=03 \cdot (-8) + 4 \cdot 6 = -24 + 24 = 0.
Ja, skalarproduktet er 0.
Eksempel 2: Lag en vinkelrett vektor

Finn en vektor som står vinkelrett på [5,2][5, 2].

Bytt om og skift fortegn på den ene: [−2,5][-2, 5].
Sjekk: 5⋅(−2)+2⋅5=05 \cdot (-2) + 2 \cdot 5 = 0.
Eksempel 3: Bestem en ukjent

Bestem tt slik at [t,2][t, 2] står vinkelrett på [3,−6][3, -6].

3t+2⋅(−6)=03t + 2 \cdot (-6) = 0.
3t=123t = 12, så t=4t = 4.
Eksempel 4: Vinkelen i et hjørne

Finn ∠B\angle B i trekanten med A(1,1)A(1, 1), B(5,2)B(5, 2) og C(2,4)C(2, 4).

Begge vektorene starter i BB: BA⃗=[−4,−1]\vec{BA} = [-4, -1] og BC⃗=[−3,2]\vec{BC} = [-3, 2].
BA⃗⋅BC⃗=12−2=10\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 12 - 2 = 10, ∣BA⃗∣=17|\vec{BA}| = \sqrt{17} og ∣BC⃗∣=13|\vec{BC}| = \sqrt{13}.
cos⁡∠B=1017⋅13≈0,673\cos\angle B = \dfrac{10}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{13}} \approx 0{,}673, så ∠B≈47,7°\angle B \approx 47{,}7°.
Med den feile metoden: AB⃗⋅BC⃗=[4,1]⋅[−3,2]=−10\vec{AB} \cdot \vec{BC} = [4, 1] \cdot [-3, 2] = -10, som gir 132,3°=180°−47,7°132{,}3° = 180° - 47{,}7°.
Eksempel 5: Er trekanten rettvinklet?

Er trekanten med A(0,0)A(0, 0), B(5,0)B(5, 0) og C(1,2)C(1, 2) rettvinklet?

I AA: AB⃗⋅AC⃗=[5,0]⋅[1,2]=5\vec{AB} \cdot \vec{AC} = [5, 0] \cdot [1, 2] = 5. Ikke 0.
I CC: CA⃗⋅CB⃗=[−1,−2]⋅[4,−2]=−4+4=0\vec{CA} \cdot \vec{CB} = [-1, -2] \cdot [4, -2] = -4 + 4 = 0.
Trekanten er rettvinklet i CC.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Feil vektorpar i hjørnet. Vinkelen i BB krever BA⃗\vec{BA} og BC⃗\vec{BC}. Med AB⃗\vec{AB} får du 180°−∠B180° - \angle B.
  • Å glemme nullvektoren. 0⃗⋅v⃗=0\vec 0 \cdot \vec v = 0 for alle v⃗\vec v, men nullvektoren har ingen retning. Påstanden «skalarprodukt 0 betyr vinkelrett» gjelder bare for vektorer som ikke er 0⃗\vec 0.
  • Å bytte om uten å skifte fortegn. [5,2][5, 2] og [2,5][2, 5] står ikke vinkelrett: 10+10=2010 + 10 = 20.
  • Å tro at vinkelrett betyr «loddrett». [1,2][1, 2] og [2,−1][2, -1] er vinkelrette, selv om ingen av dem er loddrett.
Huskelapp

Huskelapp

  • u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec u \perp \vec v \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec v = 0
  • [a,b]⊥[−b,a][a, b] \perp [-b, a]
  • Vinkel i hjørnet BB: BA⃗\vec{BA} og BC⃗\vec{BC}. Begge starter i BB.
  • Rettvinklet trekant: sjekk skalarproduktet i hvert hjørne.
  • Thales: CC gir rett vinkel over ABAB nøyaktig når CC ligger på sirkelen med ABAB som diameter.
Oppgaver

Øv selv