Parallelle vektorer

Når er to vektorer parallelle? Tallet k, determinant-snarveien og tre punkter på samme linje.

R1
Fint å kunne først: Vektorer på koordinatformVektorbegrepet
Utforsk

Start her: utforsk

Tre lyktestolper skal stå på en rett linje langs en vei. Står de det? Du kan stille deg bak den første og sikte. Men kan du også sjekke det med tall?

Dra i stolpene. Pilene går fra stolpe 1 til de to andre.

−2−112345678910−2−11234567
Fra stolpe 1 til 2: 2 bortover og 1 opp.
Fra stolpe 1 til 3: 6 bortover og 4 opp.
Hvor mange ganger så langt: 3 bortover og 4 opp.

Prøv dette:

  1. Flytt stolpe 3 slik at alle tre står på linje. Hva legger du merke til ved de to tallene i den nederste linja?
  2. Finn flere plasser for stolpe 3 som er på linje. Hva med en plass bak stolpe 1?
  3. Lag en regel: Hvordan kan du se på tallene om stolpene står på linje?
Forklaring

Forklaring

Definisjonen

Stolpene sto på linje når pila til stolpe 3 var en forlenget (eller forkortet) utgave av pila til stolpe 2: like mange ganger så lang bortover som oppover. Står for eksempel stolpe 2 to bortover og én opp, kan stolpe 3 stå seks bortover og tre opp, tre ganger så langt. Pilene peker da samme vei (eller rett motsatt vei).

To vektorer (ikke nullvektoren) er parallelleParallelle vektorerTo vektorer er parallelle hvis den ene er et tall ganger den andre: u⃗=t⋅v⃗\vec u = t \cdot \vec v. hvis den ene er et tall ganger den andre:

a⃗∥b⃗⟺a⃗=k⋅b⃗  for et tall k\vec a \parallel \vec b \quad\Longleftrightarrow\quad \vec a = k \cdot \vec b \ \text{ for et tall } k
  • k>0k > 0: samme retning.
  • k<0k < 0: motsatt retning. Vektorene er fortsatt parallelle!
  • ∣k∣|k| forteller hvor mange ganger lengre a⃗\vec a er enn b⃗\vec b.

Slik sjekker du med koordinater

For a⃗=[a1,a2]\vec a = [a_1, a_2] og b⃗=[b1,b2]\vec b = [b_1, b_2]: Finn kk fra én koordinat, og sjekk at samme kk passer i den andre.

Er [−6,9][-6, 9] parallell med [2,−3][2, -3]? Førstekoordinaten gir −6=k⋅2-6 = k \cdot 2, altså k=−3k = -3. Andrekoordinaten: −3⋅(−3)=9-3 \cdot (-3) = 9. Det stemmer, så vektorene er parallelle (og peker motsatt vei).

Snarveien: kryss-produktet av koordinatene

Er vektorene parallelle, er forholdet mellom koordinatene det samme: a1b1=a2b2\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}. Ganger vi over kryss, forsvinner brøkene:

a⃗∥b⃗⟺a1b2−a2b1=0\vec a \parallel \vec b \quad\Longleftrightarrow\quad a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0

Snarveien fungerer også når en koordinat er 0, der brøkene ikke gir mening.

Les mer Hvorfor virker snarveien, og hva betyr tallet?

Tallet a1b2−a2b1a_1 b_2 - a_2 b_1 kalles determinanten til vektorene. Absoluttverdien er arealet av parallellogrammet som a⃗\vec a og b⃗\vec b utspenner. Er vektorene parallelle, klapper parallellogrammet sammen til en strek, og arealet blir 0.

Du kan se det i modellen «Determinanten er et areal» like under. I R2 kommer samme tall tilbake som zz-koordinaten i vektorproduktet a⃗×b⃗\vec a \times \vec b.

Modell: Determinanten er et areal

Dra i spissene. Tallet a1b2−a2b1a_1b_2 - a_2b_1 er arealet av parallellogrammet (med fortegn). Gjør vektorene parallelle og se hva som skjer.

−5−4−3−2−112345678−3−2−1123456
a1b2−a2b1=4⋅3−1⋅1=11a_1 b_2 - a_2 b_1 = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 11

Tre punkter på samme linje

AA, BB og CC ligger på samme rette linje nøyaktig når AB⃗\vec{AB} og AC⃗\vec{AC} er parallelle. Begge vektorene starter i AA, så er de parallelle, må de ligge langs samme linje gjennom AA.

Modell: Når ligger C på linja gjennom A og B?

Punktet CC har koordinatene (t, 5−t)(t,\ 5 - t). Når du endrer tt, beveger CC seg langs den lilla stiplede linja. Finn tt slik at AA, BB og CC ligger på linje. Du kan også dra i AA og BB.

−7−6−5−4−3−2−1123456789−3−2−112345678
AB⃗=[5,3]\vec{AB} = [5, 3] og AC⃗=[2; 4]\vec{AC} = [2;\ 4]
Snarveien: 5⋅4−3⋅2=145 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = 14
Ikke på linje ennå. Snarveien må bli 0.

Prøv dette:

  1. Finn tt ved å prøve deg fram. Regn så ut svaret med snarveien, og sammenlign.
  2. Flytt BB slik at AB⃗\vec{AB} blir parallell med den lilla linja. Hva skjer med løsningen?
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Finn k

Er a⃗=[2,−3]\vec a = [2, -3] og b⃗=[−6,9]\vec b = [-6, 9] parallelle?

Prøv b⃗=k⋅a⃗\vec b = k \cdot \vec a. Førstekoordinaten: −6=2k-6 = 2k, så k=−3k = -3.
Andrekoordinaten: −3⋅(−3)=9-3 \cdot (-3) = 9. Det stemmer.
Ja, b⃗=−3a⃗\vec b = -3\vec a. Vektorene er parallelle, men peker motsatt vei.
Eksempel 2: Snarveien

Er [4,6][4, 6] og [6,8][6, 8] parallelle?

4⋅8−6⋅6=32−36=−44 \cdot 8 - 6 \cdot 6 = 32 - 36 = -4.
Tallet er ikke 0, så vektorene er ikke parallelle. (De ser nesten parallelle ut, men 46≠68.)
Eksempel 3: Bestem en ukjent

Bestem tt slik at [t,4][t, 4] er parallell med [3,6][3, 6].

Snarveien: t⋅6−4⋅3=0t \cdot 6 - 4 \cdot 3 = 0.
6t=126t = 12, så t=2t = 2. Sjekk: [2,4]=23⋅[3,6][2, 4] = \frac{2}{3} \cdot [3, 6].
Eksempel 4: Tre punkter på linje

Ligger A(1,2)A(1, 2), B(3,5)B(3, 5) og C(7,11)C(7, 11) på samme linje?

AB⃗=[2,3]\vec{AB} = [2, 3] og AC⃗=[6,9]\vec{AC} = [6, 9].
AC⃗=3⋅AB⃗\vec{AC} = 3 \cdot \vec{AB}. Vektorene er parallelle og starter begge i AA, så punktene ligger på linje.
Eksempel 5: Punktet som må ligge på linja

Bestem tt slik at A(−2,1)A(-2, 1), B(3,4)B(3, 4) og C(t,5−t)C(t, 5 - t) ligger på linje.

AB⃗=[5,3]\vec{AB} = [5, 3] og AC⃗=[t+2, 4−t]\vec{AC} = [t + 2,\ 4 - t].
Snarveien: 5(4−t)−3(t+2)=05(4 - t) - 3(t + 2) = 0, altså 20−5t−3t−6=020 - 5t - 3t - 6 = 0.
14=8t14 = 8t, så t=1,75t = 1{,}75. Punktet er C(1,75; 3,25)C(1{,}75;\ 3{,}25).
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å sjekke bare én koordinat. Du må få samme kk i begge. [2,3][2, 3] og [4,5][4, 5] gir k=2k = 2 fra den første, men 5≠2⋅35 \neq 2 \cdot 3.
  • Å tro at motsatt retning ikke er parallelt. [1,2][1, 2] og [−2,−4][-2, -4] er parallelle, med k=−2k = -2.
  • Punkter i stedet for vektorer. For å sjekke om AA, BB og CC ligger på linje, bruker du AB⃗\vec{AB} og AC⃗\vec{AC}, ikke koordinatene til punktene selv.
  • Dele på null. [0,3][0, 3] og [0,5][0, 5] er parallelle, men 00 gir ikke mening. Bruk snarveien: 0⋅5−3⋅0=00 \cdot 5 - 3 \cdot 0 = 0.
Huskelapp

Huskelapp

  • a⃗∥b⃗⇔a⃗=kb⃗\vec a \parallel \vec b \Leftrightarrow \vec a = k\vec b. k<0k < 0: motsatt retning.
  • Snarvei: a1b2−a2b1=0a_1b_2 - a_2b_1 = 0.
  • Tre punkter på linje: AB⃗∥AC⃗\vec{AB} \parallel \vec{AC}.
  • Finn ukjent: sett snarveien lik 0 og løs.
Oppgaver

Øv selv