Vektorproduktet

En vektor som står vinkelrett på to andre, og som måler arealet mellom dem. Areal, volum og spatproduktet.

R2
Fint å kunne først: Skalarproduktet i rommetArealet av en trekant med sinus
Utforsk

Start her: utforsk

Når du skrur inn en skrue, vrir du skrujernet rundt i et plan. Men skruen beveger seg ikke i det planet. Den går rett inn, vinkelrett på bevegelsen din. Kan vi lage en slik «skrueretning» fra to piler?

Den blå og den oransje pila spenner ut et parallellogram (lilla). Den grønne pila er laget av de to andre. Endre den oransje pila, og dra i figuren for å se fra flere kanter.

x12345y12345z12345
Dra i figuren for å rotere.
Arealet av det lilla parallellogrammet: 3,74
Lengden av den grønne pila: 3,74

Prøv dette:

  1. Hvordan står den grønne pila i forhold til parallellogrammet? Snu figuren og sjekk fra flere kanter.
  2. Sammenlign arealet og lengden av den grønne pila. Hva legger du merke til?
  3. Gjør den oransje pila parallell med den blå (prøv [−1,−2,0][-1, -2, 0]). Hva skjer med parallellogrammet og den grønne pila?
Forklaring

Forklaring

Tre egenskaper

Den grønne pila sto alltid vinkelrett ut av parallellogrammet, som skruen. Og den var like lang som arealet av parallellogrammet. Når pilene var parallelle, klappet parallellogrammet sammen, og den grønne pila forsvant. Den grønne pila er vektorproduktet av de to andre.

VektorproduktetVektorproduktEn vektor u⃗×v⃗\vec u \times \vec v som står vinkelrett på både u⃗\vec u og v⃗\vec v. Lengden er arealet av parallellogrammet de utspenner. u⃗×v⃗\vec u \times \vec v (les: «uu kryss vv») er en vektor med disse egenskapene:

  1. Retning: Den står vinkelrett på både u⃗\vec u og v⃗\vec v.
  2. Lengde: ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec u \times \vec v| = |\vec u||\vec v|\sin\theta. Det er arealet av parallellogrammet som u⃗\vec u og v⃗\vec v utspenner.
  3. Hvilken vei: Høyrehåndsregelen. Pek pekefingeren langs u⃗\vec u og langfingeren langs v⃗\vec v. Da peker tommelen langs u⃗×v⃗\vec u \times \vec v.

Legg merke til forskjellen fra skalarproduktet: u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v er et tall, men u⃗×v⃗\vec u \times \vec v er en vektor. Vektorproduktet finnes bare i rommet.

På koordinatform

For u⃗=[x1,y1,z1]\vec u = [x_1, y_1, z_1] og v⃗=[x2,y2,z2]\vec v = [x_2, y_2, z_2] er

u⃗×v⃗=[ y1z2−z1y2,  z1x2−x1z2,  x1y2−y1x2 ]\vec u \times \vec v = [\,y_1 z_2 - z_1 y_2,\ \ z_1 x_2 - x_1 z_2,\ \ x_1 y_2 - y_1 x_2\,]

Huskeregel. Skriv vektorene under hverandre. For hver koordinat dekker du til kolonnen og regner «kryss» med de to kolonnene som er igjen: øverst til venstre ganger nederst til høyre, minus øverst til høyre ganger nederst til venstre. Den midterste koordinaten får motsatt fortegn.

x1y1z1x2y2z2x: dekk til x-kolonnen:y1z2−z1y2y: dekk til y-kolonnen, bytt fortegn:−(x1z2−z1x2)z: dekk til z-kolonnen:x1y2−y1x2\begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{array} \qquad \begin{aligned} x&: \ \text{dekk til } x\text{-kolonnen:} & y_1 z_2 - z_1 y_2 \\ y&: \ \text{dekk til } y\text{-kolonnen, bytt fortegn:} & -(x_1 z_2 - z_1 x_2) \\ z&: \ \text{dekk til } z\text{-kolonnen:} & x_1 y_2 - y_1 x_2 \end{aligned}

Sjekk alltid svaret ved å regne ut (u⃗×v⃗)⋅u⃗(\vec u \times \vec v) \cdot \vec u. Det skal bli 0.

Les mer Hvorfor står koordinatformelen vinkelrett på begge vektorene?

Kall resultatet w⃗\vec w og regn ut w⃗⋅u⃗\vec w \cdot \vec u:

(y1z2−z1y2)x1+(z1x2−x1z2)y1+(x1y2−y1x2)z1(y_1 z_2 - z_1 y_2)x_1 + (z_1 x_2 - x_1 z_2)y_1 + (x_1 y_2 - y_1 x_2)z_1

Gang ut: x1y1z2−x1z1y2+y1z1x2−x1y1z2+x1y2z1−y1x2z1x_1y_1z_2 - x_1z_1y_2 + y_1z_1x_2 - x_1y_1z_2 + x_1y_2z_1 - y_1x_2z_1. Hvert ledd finnes to ganger, én gang med pluss og én gang med minus. Alt forsvinner, og w⃗⋅u⃗=0\vec w \cdot \vec u = 0. Samme utregning viser at w⃗⋅v⃗=0\vec w \cdot \vec v = 0.

At lengden er ∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec u||\vec v|\sin\theta, kan vises ved å regne ut ∣w⃗∣2|\vec w|^2 og sammenligne med ∣u⃗∣2∣v⃗∣2−(u⃗⋅v⃗)2=∣u⃗∣2∣v⃗∣2(1−cos⁡2θ)|\vec u|^2|\vec v|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2(1 - \cos^2\theta). Det er en lang, men grei utregning.

Regneregler

  • v⃗×u⃗=−(u⃗×v⃗)\vec v \times \vec u = -(\vec u \times \vec v). Rekkefølgen betyr noe! Bytter du om, snur vektoren.
  • u⃗×u⃗=0⃗\vec u \times \vec u = \vec 0, og u⃗×v⃗=0⃗\vec u \times \vec v = \vec 0 når vektorene er parallelle (da er sin⁡θ=0\sin\theta = 0).
  • u⃗×(v⃗+w⃗)=u⃗×v⃗+u⃗×w⃗\vec u \times (\vec v + \vec w) = \vec u \times \vec v + \vec u \times \vec w
  • (tu⃗)×v⃗=t(u⃗×v⃗)(t\vec u) \times \vec v = t(\vec u \times \vec v)

Areal

Parallellogrammet som u⃗\vec u og v⃗\vec v utspenner, har areal ∣u⃗×v⃗∣|\vec u \times \vec v|. En trekant er et halvt parallellogram:

A△ABC=12∣AB⃗×AC⃗∣A_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\left|\vec{AB} \times \vec{AC}\right|

Volum og spatproduktet

Tre vektorer u⃗\vec u, v⃗\vec v og w⃗\vec w utspenner en skjev eske, et parallellepiped. Volumet er grunnflate ganger høyde:

  • Grunnflaten er parallellogrammet med areal ∣u⃗×v⃗∣|\vec u \times \vec v|.
  • Høyden er hvor langt w⃗\vec w når ut fra grunnflaten, altså lengden av projeksjonen av w⃗\vec w på normalen u⃗×v⃗\vec u \times \vec v. Den er ∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣∣u⃗×v⃗∣\dfrac{|(\vec u \times \vec v) \cdot \vec w|}{|\vec u \times \vec v|}.

Ganger vi, forkortes ∣u⃗×v⃗∣|\vec u \times \vec v| bort. Tallet (u⃗×v⃗)⋅w⃗(\vec u \times \vec v) \cdot \vec w kalles spatproduktetSpatproduktTallet (u⃗×v⃗)⋅w⃗(\vec u \times \vec v) \cdot \vec w. Absoluttverdien er volumet av parallellepipedet (den skjeve esken) som vektorene utspenner.:

Vparallellepiped=∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣Vtetraeder=16∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣V_{\text{parallellepiped}} = |(\vec u \times \vec v) \cdot \vec w| \qquad V_{\text{tetraeder}} = \frac{1}{6}|(\vec u \times \vec v) \cdot \vec w|

Et tetraeder (en pyramide med trekant som grunnflate) har halvparten av grunnflaten og en tredjedel av volumet for samme grunnflate, altså 12·13=16.

Er spatproduktet 0, har esken ikke noe volum. Da ligger de tre vektorene i samme plan.

Modell: Samme grunnflate, samme høyde, samme volum

Grunnflaten utspennes av u⃗=[3,0,0]\vec u = [3, 0, 0] og v⃗=[1,2,0]\vec v = [1, 2, 0], og har areal ∣u⃗×v⃗∣=6|\vec u \times \vec v| = 6. Endre w⃗\vec w. Hva skjer med volumet når du skyver toppen sidelengs?

x1234y1234z1234
Dra i figuren for å rotere.
(u⃗×v⃗)⋅w⃗=[0,0,6]⋅[1; 0,5; 2]=12(\vec u \times \vec v) \cdot \vec w = [0, 0, 6] \cdot [1;\ 0{,}5;\ 2] = 12
Volumet er 1212. Det avhenger bare av høyden cc!
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Regn ut vektorproduktet

Finn [1,2,3]×[4,5,6][1, 2, 3] \times [4, 5, 6].

xx: dekk til xx-kolonnen: 2⋅6−3⋅5=12−15=−32 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3.
yy: dekk til yy-kolonnen og bytt fortegn: −(1⋅6−3⋅4)=−(6−12)=6-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = -(6 - 12) = 6.
zz: dekk til zz-kolonnen: 1⋅5−2⋅4=5−8=−31 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3.
[1,2,3]×[4,5,6]=[−3,6,−3][1, 2, 3] \times [4, 5, 6] = [-3, 6, -3]. Sjekk: [−3,6,−3]⋅[1,2,3]=−3+12−9=0[-3, 6, -3] \cdot [1, 2, 3] = -3 + 12 - 9 = 0.
Eksempel 2: Arealet av en trekant

Finn arealet av trekanten med hjørner A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,2,0)B(0, 2, 0) og C(0,0,3)C(0, 0, 3).

AB⃗=[−1,2,0]\vec{AB} = [-1, 2, 0] og AC⃗=[−1,0,3]\vec{AC} = [-1, 0, 3].
AB⃗×AC⃗=[2⋅3−0⋅0, −((−1)⋅3−0⋅(−1)), (−1)⋅0−2⋅(−1)]=[6,3,2]\vec{AB} \times \vec{AC} = [2 \cdot 3 - 0 \cdot 0,\ -((-1) \cdot 3 - 0 \cdot (-1)),\ (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1)] = [6, 3, 2].
∣[6,3,2]∣=36+9+4=7|[6, 3, 2]| = \sqrt{36 + 9 + 4} = 7, så arealet er 72=3,5.
Eksempel 3: Volumet av et tetraeder

Finn volumet av tetraederet med hjørner O(0,0,0)O(0, 0, 0), A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,2,0)B(0, 2, 0) og C(0,0,3)C(0, 0, 3).

OA⃗×OB⃗=[1,0,0]×[0,2,0]=[0,0,2]\vec{OA} \times \vec{OB} = [1, 0, 0] \times [0, 2, 0] = [0, 0, 2].
Spatproduktet: [0,0,2]⋅[0,0,3]=6[0, 0, 2] \cdot [0, 0, 3] = 6.
V=16⋅6=1V = \dfrac{1}{6} \cdot 6 = 1. (Kontroll: grunnflaten OABOAB har areal 1, høyden er 3, og 13·1·3=1.)
Eksempel 4: Fire punkter i samme plan?

Ligger A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(2,3,1)B(2, 3, 1), C(0,2,2)C(0, 2, 2) og D(1,4,2)D(1, 4, 2) i samme plan?

AB⃗=[1,2,0]\vec{AB} = [1, 2, 0], AC⃗=[−1,1,1]\vec{AC} = [-1, 1, 1] og AD⃗=[0,3,1]\vec{AD} = [0, 3, 1].
AB⃗×AC⃗=[2⋅1−0⋅1, −(1⋅1−0⋅(−1)), 1⋅1−2⋅(−1)]=[2,−1,3]\vec{AB} \times \vec{AC} = [2 \cdot 1 - 0 \cdot 1,\ -(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)),\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)] = [2, -1, 3].
[2,−1,3]⋅[0,3,1]=0−3+3=0[2, -1, 3] \cdot [0, 3, 1] = 0 - 3 + 3 = 0.
Spatproduktet er 0, så punktene ligger i samme plan. (Faktisk er AD⃗=AB⃗+AC⃗\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}.)
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Feil fortegn i midten. Den midterste koordinaten er z1x2−x1z2z_1x_2 - x_1z_2. Med huskeregelen: husk å bytte fortegn.
  • Feil rekkefølge. u⃗×v⃗\vec u \times \vec v og v⃗×u⃗\vec v \times \vec u peker motsatt vei. For areal og volum spiller det ingen rolle (vi tar absoluttverdi), men for retningen gjør det det.
  • Å blande med skalarproduktet. u⃗×v⃗\vec u \times \vec v er en vektor. Det gir ikke mening å si at vektorproduktet «er 5».
  • Glemme halvparten. Trekanten er et halvt parallellogram: 12∣AB⃗×AC⃗∣\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|.
  • 13 i stedet for 16. Tetraederet har faktoren 16 fordi grunnflaten er en trekant.
Huskelapp

Huskelapp

  • u⃗×v⃗=[y1z2−z1y2, z1x2−x1z2, x1y2−y1x2]\vec u \times \vec v = [y_1z_2 - z_1y_2,\ z_1x_2 - x_1z_2,\ x_1y_2 - y_1x_2]
  • Står vinkelrett på u⃗\vec u og v⃗\vec v. Sjekk med skalarprodukt!
  • ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec u \times \vec v| = |\vec u||\vec v|\sin\theta = arealet av parallellogrammet.
  • v⃗×u⃗=−(u⃗×v⃗)\vec v \times \vec u = -(\vec u \times \vec v)
  • Trekant: 12∣AB⃗×AC⃗∣\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|
  • Parallellepiped: ∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣|(\vec u \times \vec v) \cdot \vec w|. Tetraeder: 16∣(u⃗×v⃗)⋅w⃗∣\frac{1}{6}|(\vec u \times \vec v) \cdot \vec w|.
  • Spatprodukt 0: vektorene ligger i samme plan.
Oppgaver

Øv selv