Linjer i rommet · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

En flygeleder ser flyene på en skjerm, ovenfra. To fly på rett kurs vises som to streker som krysser hverandre. Betyr det at flyene kolliderer?

Den blå banen er i høyden 1. Endre høyden til den oransje banen. Den stiplede streken er høydeforskjellen der banene ser ut til å krysse.

Dra i figuren for å rotere.

Høyden til den oransje banen2,5

Høydeforskjellen der banene krysser sett ovenfra: 1,5

Prøv dette:

Trykk «Ovenfra (xy)». Ser det ut som banene krysser hverandre?
Trykk «Forfra (yz)» og endre høyden. For hvilken høyde krysser banene hverandre virkelig?
I planet må to linjer som ikke er parallelle, krysse hverandre. Gjelder det i rommet også?

Forklaring

Parameterframstilling

Ovenfra så banene ut til å krysse, men i virkeligheten gikk de forbi hverandre, med mindre høydene var like. I planet må to linjer som ikke er parallelle, skjære hverandre. I rommet har de en tredje mulighet: De kan gå forbi hverandre. For å regne på slike baner trenger vi en måte å beskrive linjer i rommet på.

En linje i rommet er bestemt av et punkt $P_0(x_0, y_0, z_0)$ og en retningsvektor $\vec r = [a, b, c]$ . Vi starter i $P_0$ og går $t$ ganger $\vec r$ :

[x, y, z] = [x_0, y_0, z_0] + t\,[a, b, c] \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}

Hver verdi av $t$ gir ett punkt på linja. Linja gjennom $A$ og $B$ har retningsvektor $\vec{AB}$ .

Modell: Punktet vandrer langs linja

Linja $l$ går gjennom $P_0(1, -2, 0)$ med retningsvektor $\vec r = [0, 1, 1]$ . Endre $t$ og se punktet $P$ bevege seg.

Dra i figuren for å rotere.

t

1,5

t = 1{,}5

gir

P = [1, -2, 0] + 1{,}5 \cdot [0, 1, 1] = (1;\ -0{,}5;\ 1{,}5)

Prøv dette: Hvilken verdi av $t$ gir punktet der linja treffer $xz$ -planet? Og $xy$ -planet?

Hvorfor ikke $y = ax + b$ ?

I planet kan en linje beskrives med én likning. I rommet går ikke det. Én likning som $x + y + z = 3$ beskriver et helt plan, fordi den bare legger én betingelse på tre koordinater. En linje trenger to betingelser. Parameterframstillingen er den naturlige måten å skrive linjer i rommet på.

Ligger punktet på linja?

Et punkt ligger på linja hvis samme $t$ passer i alle tre likningene. Finn $t$ fra én koordinat, og sjekk de to andre.

Skjæring med koordinatplanene

Linja treffer $xy$ -planet der $z = 0$ . Løs $z_0 + ct = 0$ , og sett $t$ inn i $x$ og $y$ . Tilsvarende for de andre koordinatplanene.

To linjer i rommet

To linjer $l$ og $m$ kan ligge på tre måter:

Situasjon	Retningsvektorene	Felles punkter
Parallelle	parallelle	ingen (eller alle, hvis det er samme linje)
Skjærende	ikke parallelle	ett
Vindskjeve	ikke parallelle	ingen

Slik finner du ut hva som gjelder:

Er retningsvektorene parallelle? Da er linjene parallelle.
Hvis ikke: Gi linjene hver sin parameter, $t$ og $s$ , og sett koordinatene like. Det gir tre likninger med to ukjente.
Løs to av likningene. Sett løsningen inn i den tredje.
- Stemmer den, skjærer linjene hverandre.
- Stemmer den ikke, er linjene vindskjeve.

Modell: Skjærende eller vindskjeve?

Linja $l$ ligger i høyden $z = 1$ . Linja $m$ ligger i høyden $z = h$ . Ovenfra krysser de hverandre i $(1{,}5;\ 1{,}5)$ . Den stiplede streken viser avstanden mellom dem der.

Dra i figuren for å rotere.

h

2,5

Høydeforskjellen der linjene krysser ovenfra:

1{,}5

Prøv dette:

Trykk «Ovenfra (xy)». Ser det ut som linjene skjærer hverandre?
Trykk «Forfra (yz)» og endre $h$ . For hvilken verdi av $h$ skjærer linjene hverandre virkelig?

Vinkelen mellom to linjer

Vinkelen mellom to linjer er den spisse vinkelen mellom retningsvektorene. Absoluttverdien sørger for at vi får den spisse vinkelen:

\cos\theta = \frac{|\vec r_1 \cdot \vec r_2|}{|\vec r_1| \cdot |\vec r_2|}

Det gjelder også for vindskjeve linjer. Da tenker vi oss at den ene linja flyttes parallelt til den treffer den andre.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Linja gjennom to punkter

Finn en parameterframstilling for linja gjennom $A(1, 2, 0)$ og $B(3, 1, 4)$ . Ligger $P(5, 0, 8)$ og $Q(3, 1, 5)$ på linja?

Retningsvektor:

\vec{AB} = [2, -1, 4]

. Da er

l: \ x = 1 + 2t,\ \ y = 2 - t,\ \ z = 4t

.

P

:

x = 5

gir

t = 2

. Da er

y = 2 - 2 = 0

og

z = 8

. Begge stemmer, så

P

ligger på linja.

Q

:

x = 3

gir

t = 1

. Da er

y = 1

(stemmer), men

z = 4 \neq 5

.

Q

ligger ikke på linja.

Eksempel 2: Der linja treffer gulvet

En drone flyr langs linja $x = 2 + t$ , $y = 1 - t$ , $z = 3 - t$ . Hvor treffer den $xy$ -planet?

xy

-planet har

z = 0

:

3 - t = 0

, altså

t = 3

.

x = 2 + 3 = 5

og

y = 1 - 3 = -2

. Dronen treffer i

(5, -2, 0)

.

Eksempel 3: Skjærer linjene hverandre?

$l: \ [x, y, z] = [1, 0, 2] + t[1, 1, 0]$ og $m: \ [x, y, z] = [0, 1, 0] + s[1, 0, 1]$ .

Retningsvektorene

[1, 1, 0]

og

[1, 0, 1]

er ikke parallelle.

Sett koordinatene like:

1 + t = s

,

\ t = 1

og

2 = s

.

De to siste gir

t = 1

og

s = 2

. Sjekk den første:

1 + 1 = 2

. Den stemmer!

Linjene skjærer hverandre i punktet vi får med

t = 1

:

(2, 1, 2)

.

Eksempel 4: Vindskjeve linjer

$l: \ [x, y, z] = [1, 2, 0] + t[1, 0, 1]$ og $m: \ [x, y, z] = [0, 0, 3] + s[1, 1, 0]$ .

Retningsvektorene er ikke parallelle.

Sett koordinatene like:

1 + t = s

,

\ 2 = s

og

t = 3

.

De to første gir

s = 2

og

t = 1

. Men den tredje krever

t = 3

.

Ingen verdier passer i alle tre. Linjene er vindskjeve.

Eksempel 5: Vinkelen mellom linjene

Finn vinkelen mellom linjene i eksempel 3.

\vec r_1 \cdot \vec r_2 = [1, 1, 0] \cdot [1, 0, 1] = 1

, og begge har lengde

\sqrt 2

.

\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2} = \dfrac{1}{2}

, så

\theta = 60°

.

Vanlige feil

Samme parameter på begge linjene. Bruker du $t$ i begge, krever du at «flyene» er i skjæringspunktet samtidig. Linjene kan skjære hverandre selv om det skjer for ulike parameterverdier. Bruk $t$ og $s$ .
Å glemme den tredje likningen. To likninger med to ukjente har nesten alltid en løsning. Det er den tredje som avgjør om linjene skjærer hverandre.
Å tro at én likning er en linje. $2x - y + z = 4$ er et plan, ikke en linje.
Stump vinkel mellom linjer. Linjer har ingen «retning», så vinkelen mellom dem er alltid mellom $0°$ og $90°$ . Bruk absoluttverdi i telleren.

Huskelapp

$l: \ [x, y, z] = [x_0, y_0, z_0] + t[a, b, c]$
Punkt på linja: samme $t$ i alle tre likningene.
Treffer $xy$ -planet: $z = 0$ .
To linjer: parallelle, skjærende eller vindskjeve. Bruk $t$ og $s$ , løs to likninger, sjekk den tredje.
Vinkel: $\cos\theta = \dfrac{|\vec r_1 \cdot \vec r_2|}{|\vec r_1||\vec r_2|}$

Start her: utforsk

Forklaring

Parameterframstilling

Modell: Punktet vandrer langs linja

Hvorfor ikke y=ax+by = ax + by=ax+b?

Ligger punktet på linja?

Skjæring med koordinatplanene

To linjer i rommet

Modell: Skjærende eller vindskjeve?

Vinkelen mellom to linjer

Gjennomgåtte eksempler

Vanlige feil

Huskelapp

Øv selv

Hvorfor ikke $y = ax + b$ ?