Trigonometriske likninger · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Et pariserhjul har radius 30 m, og navet er 32 m over bakken. Det går én runde hvert 10. minutt. Når er gondolen din 30 meter over bakken?

Den blå kurven er høyden til gondolen. Den oransje linja er 30 m. Dra i tiden.

høyden til gondolen30 m over bakken

Tid (minutter)1

Etter 1 minutter er gondolen 7,7 m over bakken.

Prøv dette:

Finn første gang gondolen er 30 m over bakken. Finn neste gang. Er den på vei opp eller ned?
Hvor mange ganger er gondolen 30 m over bakken i løpet av 30 minutter?
Hvor lang tid er det mellom hver gang den er på vei opp? Kan du forutsi alle tidspunktene uten å dra?

Forklaring

Uendelig mange løsninger

Gondolen er 30 m over bakken etter omtrent 2,4 og 7,6 minutter: én gang på vei opp og én gang på vei ned. Så skjer det samme igjen hver 10. minutt: etter 12,4 og 17,6 minutter, og så videre. Periodiske funksjoner når samme verdi om og om igjen. Derfor har trigonometriske likninger vanligvis uendelig mange løsninger. Kunsten er å finne dem systematisk: Finn løsningene innenfor én periode, og legg så til hele perioder.

sin x = a

På enhetssirkelen er $\sin x$ høyden til punktet. Den vannrette linja $y = a$ skjærer sirkelen i to punkter (når $-1 < a < 1$ ), speilet om $y$ -aksen:

x = \arcsin a + k \cdot 2\pi \qquad \text{eller} \qquad x = \pi - \arcsin a + k \cdot 2\pi

der $k$ er et helt tall. $\arcsin a$ er vinkelen mellom $-\frac{\pi}{2}$ og $\frac{\pi}{2}$ med sinus lik $a$ ( $\sin^{-1}$ på kalkulatoren).

Modell: På enhetssirkelen

De grønne punktene er løsningene av $\sin v = \frac{1}{2}$ i $[0, 2\pi\rangle$ . Den grønne linja er $y = \frac{1}{2}$ .

v

Lås til hele 15°

v = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524

rad

= 30°

\cos v = \tfrac{\sqrt{3}}{2}

,

\sin v = \tfrac{1}{2}

,

\tan v = 0{,}577

Løsninger av

\sin v = 0{,}5

i

[0, 2\pi\rangle

:

v = \frac{\pi}{6}

v = \frac{5\pi}{6}

Den oransje buen er vinkelen målt i radianer: lengden av buen på en sirkel med radius 1.

cos x = a

$\cos x$ er førstekoordinaten. Den loddrette linja $x = a$ skjærer sirkelen i to punkter, speilet om $x$ -aksen:

x = \pm\arccos a + k \cdot 2\pi

tan x = a

$\tan x$ har periode $\pi$ , så

x = \arctan a + k \cdot \pi

Når det står cx inni

Løs først for $u = cx$ som over, og del så på $c$ . Husk at perioden også deles: $\sin(2x) = a$ gir løsninger med mellomrom $\frac{2\pi}{2} = \pi$ .

Andregradslikninger i sin og cos

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ er en andregradslikning i $u = \sin x$ . Løs for $u$ , og løs så $\sin x = u$ for hver løsning. Forkast $u$ utenfor $[-1, 1]$ .

I et intervall

Oppgaver ber ofte om løsningene i et intervall, for eksempel $[0, 2\pi\rangle$ . Skriv den generelle løsningen og prøv $k = 0, 1, 2, \dots$ (og negative $k$ ) til du har alle som ligger i intervallet.

Modell: På grafen

Den oransje linja er $y = a$ . Punktene er løsningene av $\sin x = a$ for $x$ mellom $-\pi$ og $4\pi$ . Legg merke til de to «familiene» av løsninger, hver med mellomrom $2\pi$ .

\sin x

y = a

a

0,5

\arcsin a = 0{,}524

, og

\pi - \arcsin a = 2{,}618

Grønne:

x = 0{,}524 + k \cdot 2\pi

. Lilla:

x = 2{,}618 + k \cdot 2\pi

.

Prøv dette:

Hva skjer med de to løsningsfamiliene når $a = 1$ ?
Hvorfor finnes det ingen løsninger når $a > 1$ ?

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: sin x = ½

Løs $\sin x = \frac{1}{2}$ for $x \in [0, 2\pi\rangle$ .

\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}

.

Den andre løsningen er

\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}

.

x = \frac{\pi}{6}

eller

x = \frac{5\pi}{6}

.

Eksempel 2: cx inni

Løs $2\sin(2x) = 1$ for $x \in [0, \pi\rangle$ .

\sin(2x) = \frac{1}{2}

gir

2x = \frac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi

eller

2x = \frac{5\pi}{6} + k \cdot 2\pi

.

Del på 2:

x = \frac{\pi}{12} + k\pi

eller

x = \frac{5\pi}{12} + k\pi

.

I

[0, \pi\rangle

(med

k = 0

):

x = \frac{\pi}{12}

eller

x = \frac{5\pi}{12}

.

Eksempel 3: cos x = −½

Løs $\cos x = -\frac{1}{2}$ for $x \in [0, 2\pi\rangle$ .

\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}

.

x = \pm\frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi

.

-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}

.

x = \frac{2\pi}{3}

eller

x = \frac{4\pi}{3}

.

Eksempel 4: Andregradslikning

Løs $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ for $x \in [0, 2\pi\rangle$ .

Med

u = \sin x

:

2u^2 - u - 1 = 0

gir

u = 1

eller

u = -\frac{1}{2}

.

\sin x = 1

gir

x = \frac{\pi}{2}

.

\sin x = -\frac{1}{2}

gir

x = \frac{7\pi}{6}

eller

x = \frac{11\pi}{6}

.

Vanlige feil

Å glemme den andre løsningen. Kalkulatoren gir bare $\arcsin a$ . Den andre er $\pi - \arcsin a$ .
Feil periode når det står $cx$ . Del hele løsningen, også $k \cdot 2\pi$ , på $c$ .
Å få negative vinkler og stoppe der. $\arcsin(-0{,}5) = -\frac{\pi}{6}$ . I $[0, 2\pi\rangle$ blir det $\frac{11\pi}{6}$ .
Å dele på $\sin x$ . I $\sin^2 x = \sin x$ mister du løsningene med $\sin x = 0$ . Flytt over og faktoriser i stedet.

Huskelapp

$\sin x = a$ : $x = \arcsin a + k2\pi$ eller $x = \pi - \arcsin a + k2\pi$
$\cos x = a$ : $x = \pm\arccos a + k2\pi$
$\tan x = a$ : $x = \arctan a + k\pi$
$cx$ inni: løs for $cx$ , del så alt på $c$ .
Tegn enhetssirkelen, og finn alle løsninger i det gitte intervallet.

Start her: utforsk

Forklaring

Uendelig mange løsninger

sin x = a

Modell: På enhetssirkelen

cos x = a

tan x = a

Når det står cx inni

Andregradslikninger i sin og cos

I et intervall

Modell: På grafen

Gjennomgåtte eksempler

Vanlige feil

Huskelapp

Øv selv