Trigonometriske funksjoner · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Tidevannet stiger og synker to ganger i døgnet. Dagene blir lengre og kortere gjennom året. Alt dette gjentar seg. Hvordan kan vi beskrive et mønster som gjentar seg?

Punktene er antall timer med dagslys den 15. i hver måned i Oslo (måned 1 = januar). Se først på punktene, og velg så en modell.

måned 7

Modell (

t

= måned):

f(t) = 6{,}137 \sin(0{,}5236t - 1{,}672) + 12{,}28

Den deriverte:

f'(t) = 3{,}214 \cos(0{,}5236t - 1{,}672)

I måned 7: modellen gir 17,87 timer, og vekstfarten er −1,32 timer per måned.

Forklaringsgrad

R^2 = 0{,}9971

. Jo nærmere 1, jo bedre passer modellen til dataene, men sjekk alltid om modellen gir mening utenfor dataene.

Data (måned og timer dagslys, én linje per punkt)

Lim gjerne inn egne målinger.

Prøv dette:

Når er dagen lengst, og når er den kortest? Hvor mange timer er det mellom lengst og kortest?
Hvilken daglengde svinger dagene rundt? Hvor lang tid tar det før mønsteret gjentar seg?
Sammenlign sinusmodellen og andregradsmodellen. Hvilken ville gitt en fornuftig daglengde neste år?

Forklaring

Grunnformen

Daglengden svinger mellom omtrent 6 og 19 timer, rundt en midtverdi på omtrent 12,4 timer, og mønsteret gjentar seg hver 12. måned. Når noe gjentar seg i et jevnt mønster, er sinus og cosinus det naturlige verktøyet. Grafene deres er bølger, og med fire tall kan vi strekke, flytte og tilpasse bølgen til nesten ethvert periodisk fenomen.

Grafen til $\sin x$ er en bølge som svinger mellom $-1$ og $1$ og gjentar seg for hver $2\pi$ . $\cos x$ har samme form, bare forskjøvet $\frac{\pi}{2}$ til venstre: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ .

Den generelle sinusfunksjonen

f(x) = A \sin(cx + \varphi) + d

Tall	Betydning	Graf
$A$	amplitude	hvor høyt bølgen svinger
$c$	bestemmer perioden: $p = \frac{2\pi}{c}$	hvor tett bølgene ligger
$\varphi$	faseforskyvning	flytter bølgen sidelengs
$d$	likevektslinja $y = d$	flytter bølgen opp og ned

Største verdi er $d + |A|$ , og minste verdi er $d - |A|$ .

Modell: Form bølgen

f(x) = A\sin(cx + \varphi) + d

\sin x

A

2

c

1

\varphi

0

d

0

Amplitude:

2

, periode:

\frac{2\pi}1 \approx 6{,}28

, likevektslinje:

y = 0

Største verdi:

2

, minste verdi:

-2

Fra grafen til funksjonsuttrykket

$d = \dfrac{\text{maks} + \text{min}}{2}$ (midt mellom)
$A = \dfrac{\text{maks} - \text{min}}{2}$ (halve høydeforskjellen)
$c = \dfrac{2\pi}{p}$ , der $p$ er perioden (for eksempel avstanden mellom to toppunkter)
$\varphi$ bestemmes av hvor bølgen starter, for eksempel ved å sette inn et kjent punkt.

Tangens

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ har periode $\pi$ og loddrette asymptoter der $\cos x = 0$ , altså i $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ .

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Les av egenskapene

Finn amplitude, periode, likevektslinje og største og minste verdi for $f(x) = 3\sin(2x - \frac{\pi}{2}) + 1$ .

Amplitude

|A| = 3

og likevektslinje

y = 1

.

Periode

p = \dfrac{2\pi}{2} = \pi

.

Største verdi

1 + 3 = 4

og minste verdi

1 - 3 = -2

.

Eksempel 2: Modell for tidevann

Høyvann er 3,2 m klokka 04:00, og lavvann er 0,8 m klokka 10:12. Lag en modell $h(t) = A\cos(c(t - 4)) + d$ , der $t$ er timer etter midnatt.

d = \dfrac{3{,}2 + 0{,}8}{2} = 2{,}0

og

A = \dfrac{3{,}2 - 0{,}8}{2} = 1{,}2

.

Fra høyvann til lavvann er en halv periode: 6,2 timer. Perioden er

p = 12{,}4

timer, så

c = \dfrac{2\pi}{12{,}4} \approx 0{,}507

.

Cosinus har toppunkt når vinkelen er 0, altså ved

t = 4

:

h(t) = 1{,}2\cos(0{,}507(t - 4)) + 2{,}0

.

Eksempel 3: Tolk daglengdemodellen

Sinusregresjonen med periode 12 gir omtrent $D(t) = 6{,}14\sin(0{,}524t - 1{,}67) + 12{,}28$ , der $t$ er måned. Tolk modellen.

Likevektslinja er omtrent 12,3 timer, altså gjennomsnittlig daglengde gjennom året.

Amplituden er omtrent 6,1 timer. Modellen gir lengste dag rundt

12{,}3 + 6{,}1 = 18{,}4

timer og korteste rundt

6{,}1

timer. De beregnede verdiene er 18,8 og 5,9, så modellen jevner ut toppene litt.

c = 0{,}524 \approx \frac{2\pi}{12}

, så perioden er 12 måneder, som forventet.

Den deriverte er størst når cosinus er 1:

D'_{\text{maks}} = 6{,}14 \cdot 0{,}524 \approx 3{,}2

timer per måned, rundt 6 minutter per dag. Det skjer ved vårjevndøgn.

Vanlige feil

Perioden er ikke $c$ . Perioden er $\frac{2\pi}{c}$ . Større $c$ gir kortere periode.
Negativ amplitude. Amplituden er $|A|$ . En negativ $A$ speiler grafen om likevektslinja.
Å glemme likevektslinja. Største verdi er $d + |A|$ , ikke bare $|A|$ .
Grader i stedet for radianer. I funksjonsuttrykk er $x$ i radianer.

Huskelapp

$f(x) = A\sin(cx + \varphi) + d$
Amplitude $|A|$ , periode $\frac{2\pi}{c}$ , likevektslinje $y = d$ .
Maks $d + |A|$ , min $d - |A|$ .
Fra graf: $d = \frac{\text{maks} + \text{min}}{2}$ , $A = \frac{\text{maks} - \text{min}}{2}$ , $c = \frac{2\pi}{p}$ .
$\tan x$ : periode $\pi$ , asymptoter i $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ .