Eksponentiallikninger · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Du setter 10 000 kroner i banken med 5 % rente per år. Hvor lang tid tar det før du har 20 000 kroner?

Dra i årene og prøv deg fram. Endre også renten.

beløpet på kontoenmålet: 20 000 kr

Antall år10Rente (%)5

Etter 10 år har du 16289 kr.

Prøv dette:

Etter hvor mange hele år har du passert 20 000 kr med 5 % rente? Er svaret et helt antall år?
Hvor lang tid tar det med 10 % rente? Blir tiden halvparten?
Hva er problemet med å finne det nøyaktige svaret ved å prøve deg fram?

Forklaring

Den ukjente i eksponenten

Etter $x$ år har du $10\,000 \cdot 1{,}05^x$ kroner. Spørsmålet blir likningen

10\,000 \cdot 1{,}05^x = 20\,000 \quad \Longleftrightarrow \quad 1{,}05^x = 2

Den ukjente står i eksponenten. Prøving fungerer (etter 14 år har du litt under, etter 15 litt over), men logaritmen gir et nøyaktig svar: Den «henter ned» eksponenten. En slik likning kalles en eksponentiallikning.

Strategi 1: Samme grunntall

Kan begge sider skrives som potenser med samme grunntall, er eksponentene like:

2^x = 32 = 2^5 \quad \Rightarrow \quad x = 5

Strategi 2: Ta logaritmen på begge sider

Isoler potensen først, og ta så $\lg$ eller $\ln$ på begge sider. Regelen $\lg a^x = x \lg a$ henter ned $x$ :

1{,}05^x = 2 \quad \Rightarrow \quad x \lg 1{,}05 = \lg 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}05} \approx 14{,}2

Med grunntall $e$ bruker vi $\ln$ : $e^x = 7$ gir $x = \ln 7 \approx 1{,}95$ .

Modell: Løsningen som skjæringspunkt

Løsningen av $a \cdot b^x = c$ er $x$ -koordinaten til skjæringspunktet mellom grafen $y = a \cdot b^x$ og den vannrette linja $y = c$ . Endre tallene og se hvordan løsningen flytter seg.

y = a \cdot b^x

y = c

a

1

b

2

c

10

x = \dfrac{\ln(c/a)}{\ln b} = \dfrac{\ln(10)}{\ln 2} \approx 3{,}322

Prøv dette:

Hva skjer når $b < 1$ ? Hva slags situasjon beskriver det?
Kan du velge tall slik at likningen ikke har noen løsning?

Strategi 3: Substitusjon

Likninger som $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$ er andregradslikninger i forkledning, fordi $e^{2x} = (e^x)^2$ . Sett $u = e^x$ :

u^2 - 5u + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad u = 2 \ \text{eller}\ u = 3

Så $e^x = 2$ eller $e^x = 3$ , altså $x = \ln 2$ eller $x = \ln 3$ .

Husk: $e^x$ er alltid positiv. Får du $u \leq 0$ , gir den ingen løsning.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Isoler potensen først

Løs $3 \cdot 2^x + 5 = 53$ .

3 \cdot 2^x = 48

, så

2^x = 16

.

16 = 2^4

, så

x = 4

.

Eksempel 2: Radioaktiv nedbrytning

Mengden av et stoff er $M(t) = 100 \cdot 0{,}8^t$ gram etter $t$ timer. Når er det 25 gram igjen?

100 \cdot 0{,}8^t = 25

gir

0{,}8^t = 0{,}25

.

t \ln 0{,}8 = \ln 0{,}25

, så

t = \dfrac{\ln 0{,}25}{\ln 0{,}8}

.

t \approx \dfrac{-1{,}386}{-0{,}223} \approx 6{,}21

timer.

Eksempel 3: Substitusjon

Løs $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$ .

Sett

u = e^x

. Da er

e^{2x} = u^2

, og likningen blir

u^2 - 5u + 6 = 0

.

(u - 2)(u - 3) = 0

, så

u = 2

eller

u = 3

.

e^x = 2

gir

x = \ln 2 \approx 0{,}693

, og

e^x = 3

gir

x = \ln 3 \approx 1{,}099

.

Eksempel 4: Grunntall e

Løs $5e^{0{,}3t} = 20$ .

e^{0{,}3t} = 4

.

0{,}3t = \ln 4

, så

t = \dfrac{\ln 4}{0{,}3} \approx 4{,}62

.

Vanlige feil

Å ta logaritmen før potensen er isolert. $\lg(3 \cdot 2^x + 5) \neq \lg 3 + x \lg 2 + \lg 5$ . Isoler $2^x$ først.
Å dele på grunntallet. $2^x = 16$ gir ikke $x = 8$ . Eksponenten må hentes ned med logaritmer.
Å glemme at $e^x > 0$ . Ved substitusjon må negative løsninger for $u$ forkastes.
Å forkorte $\frac{\ln 4}{\ln 2}$ til 42. Det gir riktig svar her ved en tilfeldighet, men er feil regning. ( $\frac{\ln 9}{\ln 3} = 2$ , men 93=3.)

Huskelapp

Samme grunntall: $a^x = a^k \Rightarrow x = k$ .
Isoler potensen, ta $\lg$ eller $\ln$ på begge sider: $a^x = b \Rightarrow x = \dfrac{\ln b}{\ln a}$ .
$e^x = b \Rightarrow x = \ln b$ (for $b > 0$ ).
Substitusjon $u = e^x$ når det står både $e^{2x}$ og $e^x$ . Forkast $u \leq 0$ .

Start her: utforsk

Forklaring

Den ukjente i eksponenten

Strategi 1: Samme grunntall

Strategi 2: Ta logaritmen på begge sider

Modell: Løsningen som skjæringspunkt

Strategi 3: Substitusjon

Gjennomgåtte eksempler

Vanlige feil

Huskelapp

Øv selv