Logaritmeregler · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Før kalkulatoren fantes, var det et mareritt å gange sammen store tall som $3847 \cdot 5219$ . I 1614 oppdaget John Napier et triks som gjorde jobben mye lettere. Kan du finne det?

Velg to tall $a$ og $b$ . Grafen er $\lg x$ , og punktene viser $\lg a$ , $\lg b$ og $\lg$ av produktet $a \cdot b$ .

y = \lg x

a

2

b

5

lg 2 = 0,301 og lg 5 = 0,699

lg 10 = 1

lg 2 + lg 5 = 1

Prøv dette:

Sammenlign de tre linjene i avlesningen. Hva legger du merke til? Prøv flere tall.
Hvorfor kan det være lettere å legge sammen to logaritmer enn å gange to tall?
Prøv $a = 10$ og $b = 10$ . Hva er $\lg 10$ , $\lg 100$ ? Henger det sammen med $10 \cdot 10 = 10^1 \cdot 10^1$ ?

Forklaring

De tre reglene

I modellen var $\lg(ab)$ alltid lik $\lg a + \lg b$ . Med logaritmer blir multiplikasjon til addisjon. Napier lagde tabeller over logaritmer: Man slo opp logaritmene, la dem sammen og slo opp svaret baklengs. Astronomer sparte måneder med regning, og regnestaven bygger på samme idé.

For $a > 0$ og $b > 0$ gjelder logaritmereglene:

\lg(a \cdot b) = \lg a + \lg b

\lg\frac{a}{b} = \lg a - \lg b

\lg a^k = k \cdot \lg a

Reglene gjelder for alle grunntall, også for $\ln$ .

Hvorfor?

Skriv $a = 10^m$ og $b = 10^n$ , altså $m = \lg a$ og $n = \lg b$ . Da er

a \cdot b = 10^m \cdot 10^n = 10^{m+n} \quad \Rightarrow \quad \lg(ab) = m + n = \lg a + \lg b

De to andre reglene vises på samme måte med $\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}$ og $(10^m)^k = 10^{mk}$ .

Modell: Test reglene

Velg tall og se hvilke regler som holder. De tre nederste er vanlige feil. Stemmer de noen gang?

a

4

b

5

k

3

Regel	Venstre side	Høyre side
$\lg(ab) = \lg a + \lg b$	1,301	1,301	✓ Like
$\lg\frac{a}{b} = \lg a - \lg b$	−0,0969	−0,0969	✓ Like
$\lg a^k = k \lg a$	1,8062	1,8062	✓ Like
$\lg(a + b) = \lg a + \lg b$ vanlig feil	0,9542	1,301	✗ Ulike
$\lg(ab) = \lg a \cdot \lg b$ vanlig feil	1,301	0,4208	✗ Ulike
$\frac{\lg a}{\lg b} = \lg a - \lg b$ vanlig feil	0,8614	−0,0969	✗ Ulike

Prøv dette:

Den første feilregelen stemmer faktisk for $a = 2$ og $b = 2$ . Hvorfor? (Hint: $2 + 2 = 2 \cdot 2$ .)
Sett $a = 10$ og $b = 10$ . Hva skjer med regel nummer to?

Grunntallsskifte

Kalkulatoren har bare $\lg$ og $\ln$ . For andre grunntall bruker vi

\log_a x = \frac{\lg x}{\lg a} = \frac{\ln x}{\ln a}

For eksempel er $\log_2 40 = \dfrac{\ln 40}{\ln 2} \approx 5{,}32$ .

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Uten kalkulator

Regn ut $\lg 4 + \lg 25$ .

\lg 4 + \lg 25 = \lg(4 \cdot 25) = \lg 100

.

\lg 100 = 2

.

Eksempel 2: Forenkle

Forenkle $\ln(x^3) - \ln x$ for $x > 0$ .

\ln(x^3) = 3\ln x

.

3\ln x - \ln x = 2\ln x

. (Eller:

\ln\frac{x^3}{x} = \ln x^2 = 2\ln x

.)

Eksempel 3: Uttrykk ved lg 2

Gitt $\lg 2 \approx 0{,}301$ . Finn $\lg 8$ , $\lg 5$ og $\lg 0{,}5$ .

\lg 8 = \lg 2^3 = 3 \lg 2 \approx 0{,}903

.

\lg 5 = \lg\frac{10}{2} = \lg 10 - \lg 2 \approx 1 - 0{,}301 = 0{,}699

.

\lg 0{,}5 = \lg\frac{1}{2} = \lg 1 - \lg 2 \approx -0{,}301

.

Vanlige feil

$\lg(a + b) = \lg a + \lg b$ . Det finnes ingen regel for logaritmen til en sum.
$\lg(ab) = \lg a \cdot \lg b$ . Riktig er $\lg a + \lg b$ .
$\dfrac{\lg a}{\lg b} = \lg a - \lg b$ . Regelen gjelder $\lg\frac{a}{b}$ , ikke $\frac{\lg a}{\lg b}$ .
$(\lg a)^k = k \lg a$ . Regelen gjelder $\lg(a^k)$ . Se nøye etter hvor eksponenten står.

Huskelapp

$\lg(ab) = \lg a + \lg b$
$\lg\frac{a}{b} = \lg a - \lg b$
$\lg a^k = k \lg a$
Samme regler for $\ln$ .
Grunntallsskifte: $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$
Ingen regel for $\lg(a + b)$ .