Logaritmelikninger

Forklaring

Strategi 1: Bruk definisjonen

For sitronsaften er $\lg c = -2$. «10 opphøyd i $-2$ er $c$», så $c = 10^{-2} = 0{,}01$ mol per liter. I en eksponentiallikning henter vi ned eksponenten med en logaritme. I en logaritmelikning gjør vi det motsatte: Vi «pakker ut» logaritmen med en potens. Én ting skiller logaritmelikninger fra alt annet: Svarene må sjekkes, for logaritmen finnes bare for positive tall.

Få én logaritme alene på den ene siden, og bruk at $\lg a = b \iff a = 10^b$:

Med $\ln$: $\ln x = 2$ gir $x = e^2 \approx 7{,}39$.

Strategi 2: Slå sammen med logaritmereglene

Andregradslikningen $x^2 - 3x - 10 = 0$ gir $x = 5$ eller $x = -2$.

Sjekk: $x = -2$ gir $\lg(-2)$, som ikke finnes. Eneste løsning er $x = 5$.

Modell: Den falske løsningen

Grafen til $y = \lg x + \lg(x - 3)$ finnes bare for $x > 3$. Skjæringen med $y = c$ er løsningen av likningen $\lg x + \lg(x - 3) = c$. Legg merke til at det aldri finnes noen løsning med $x < 3$, selv om andregradslikningen gir to svar.

Strategi 3: Substitusjon

$(\lg x)^2 - \lg x - 2 = 0$ er en andregradslikning i $u = \lg x$: $u^2 - u - 2 = 0$ gir $u = 2$ eller $u = -1$, altså $x = 100$ eller $x = 0{,}1$. Her er begge gyldige, fordi $\lg x$ godt kan være negativ.

Samme logaritme på begge sider

$\ln A = \ln B$ betyr $A = B$ (når $A, B > 0$). For eksempel gir $\ln(2x + 1) = \ln 7$ at $2x + 1 = 7$, altså $x = 3$.