Bevegelse, skjæring og kollisjon

To båter på kryssende kurs. Når krysser banene, kolliderer båtene, og hvor nær hverandre kommer de?

R1
Fint å kunne først: Parameterframstilling av en linjeOptimering
Utforsk

Start her: utforsk

To båter er på vei over en fjord, og kursene deres krysser hverandre på kartet. Betyr det at de kommer til å kollidere?

Båt A starter i origo med fartsvektor [2,1][2, 1] (km per time). Båt B starter i (10,0)(10, 0) med fartsvektor [−2,2][-2, 2]. Spill av og følg avstanden.

−1123456789101112−112345678AB
A: (0, 0)(0,\ 0), B: (10, 0)(10,\ 0)
Avstand: d=10d = 10 km

Prøv dette:

  1. Gjett først: Kolliderer båtene? Spill av og se.
  2. Omtrent når er båtene nærmest hverandre? Hvor nær kommer de?
  3. Banene krysser i omtrent (6,7; 3,3)(6{,}7;\ 3{,}3). Når er båt A der? Når er båt B der?
  4. Hva skal til for at to båter kolliderer?
Forklaring

Forklaring

Posisjon, fart og retning

Kryssende baner er ikke nok for å kollidere. Båtene må være på samme sted på samme tid. For å svare nøyaktig trenger vi parameterframstillinger der tt er tiden. Båt A startet i origo og flyttet seg [2,1][2, 1] km hver time, så etter tt timer var den i [2t,t][2t, t]. Generelt: Beveger et objekt seg med konstant fart langs en rett linje, er posisjonen etter tiden tt

P⃗(t)=[x0,y0]+t⋅[a,b]\vec P(t) = [x_0, y_0] + t \cdot [a, b]

Skjæringspunktet mellom banene

For å finne hvor banene krysser, bruker vi forskjellige parametre, ss og tt, fordi objektene kan passere punktet til ulike tider:

x1(s)=x2(t)ogy1(s)=y2(t)x_1(s) = x_2(t) \quad \text{og} \quad y_1(s) = y_2(t)

To likninger med to ukjente.

Modell: To biler og et veikryss

Bil A: r⃗A(t)=[t−2; 0,5t]\vec r_A(t) = [t - 2;\ 0{,}5t] og bil B: r⃗B(t)=[6−0,5t; 1,5t−3]\vec r_B(t) = [6 - 0{,}5t;\ 1{,}5t - 3]. Tiden tt er i minutter og avstandene i km. Veiene krysser i (4,3)(4, 3). Hvem kommer først til krysset?

−3−2−112345678−4−3−2−11234567
t=0t = 0 min: A er i (−2; 0)(-2;\ 0) og B er i (6; −3)(6;\ -3)
Farten: ∣v⃗A∣=12+0,52≈1,12|\vec v_A| = \sqrt{1^2 + 0{,}5^2} \approx 1{,}12 km/min og ∣v⃗B∣=0,52+1,52≈1,58|\vec v_B| = \sqrt{0{,}5^2 + 1{,}5^2} \approx 1{,}58 km/min
Les mer Vis utregningen: Hvem kommer først?

Bilene kommer til krysset på hvert sitt tidspunkt. Bruk derfor to ulike parametre og sett r⃗A(t)=r⃗B(s)\vec r_A(t) = \vec r_B(s):

t−2=6−0,5sog0,5t=1,5s−3t - 2 = 6 - 0{,}5s \qquad\text{og}\qquad 0{,}5t = 1{,}5s - 3

Den andre likningen gir t=3s−6t = 3s - 6. Innsatt i den første: 3s−8=6−0,5s3s - 8 = 6 - 0{,}5s, så s=4s = 4 og t=6t = 6.

Bil B er i krysset etter 4 minutter, bil A etter 6 minutter. B kommer først.

Bruker du feilaktig samme tt for begge, gir xx-likningen t=163t = \frac{16}{3} og yy-likningen t=3t = 3. Tallene er ulike, så bilene er aldri på samme sted samtidig. De kolliderer ikke, men det sier ingenting om hvor veiene krysser.

Kollisjon

For å undersøke om objektene kolliderer, bruker vi samme tt:

x1(t)=x2(t)ogy1(t)=y2(t)x_1(t) = x_2(t) \quad \text{og} \quad y_1(t) = y_2(t)

Finnes det en tt som løser begge likningene, kolliderer de.

Nærmeste avstand

Avstanden mellom objektene ved tiden tt er lengden av vektoren mellom dem:

d(t)=∣P⃗1(t)−P⃗2(t)∣d(t) = |\vec P_1(t) - \vec P_2(t)|

Den minste avstanden finner vi ved å derivere. Det er enklest å minimere d(t)2d(t)^2, som har bunnpunkt på samme sted.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Hvor krysser banene?

Båt A: x=2sx = 2s, y=sy = s. Båt B: x=10−2tx = 10 - 2t, y=2ty = 2t. Finn skjæringspunktet mellom banene.

2s=10−2t2s = 10 - 2t og s=2ts = 2t.
Sett s=2ts = 2t inn i den første: 4t=10−2t4t = 10 - 2t, så t=53t = \frac{5}{3} og s=103s = \frac{10}{3}.
Skjæringspunktet er (203,103)≈(6,67; 3,33)\left(\frac{20}{3}, \frac{10}{3}\right) \approx (6{,}67;\ 3{,}33).
Eksempel 2: Kolliderer de?

Er båtene der samtidig?

Båt A er i skjæringspunktet ved s=103≈3,33s = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 timer.
Båt B er der ved t=53≈1,67t = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 timer.
Ulike tider, så båtene kolliderer ikke. B har passert over en og en halv time før A kommer.
Eksempel 3: Nærmeste avstand

Når er båtene nærmest hverandre, og hvor nær kommer de?

P⃗A−P⃗B=[2t−(10−2t), t−2t]=[4t−10, −t]\vec P_A - \vec P_B = [2t - (10 - 2t),\ t - 2t] = [4t - 10,\ -t].
d(t)2=(4t−10)2+t2=17t2−80t+100d(t)^2 = (4t - 10)^2 + t^2 = 17t^2 - 80t + 100.
Deriver: 34t−80=034t - 80 = 0 gir t=4017≈2,35t = \frac{40}{17} \approx 2{,}35 timer.
d2=17⋅(4017)2−80⋅4017+100=10017d^2 = 17 \cdot \left(\frac{40}{17}\right)^2 - 80 \cdot \frac{40}{17} + 100 = \frac{100}{17}, så d=1017≈2,43d = \frac{10}{\sqrt{17}} \approx 2{,}43 km.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å bruke samme parameter når du leter etter skjæringspunktet. Da finner du bare punkter der objektene er samtidig, altså kollisjoner.
  • Å konkludere med kollisjon fordi banene krysser. Sjekk om tidene er like.
  • Å regne farten som a+ba + b. Farten er a2+b2\sqrt{a^2 + b^2}.
  • Å derivere d(t)d(t) med rota. Det går, men det er mye enklere å minimere d(t)2d(t)^2.
Huskelapp

Huskelapp

  • P⃗(t)=[x0,y0]+tv⃗\vec P(t) = [x_0, y_0] + t\vec v, fart ∣v⃗∣|\vec v|.
  • Skjæring mellom baner: to parametre, ss og tt.
  • Kollisjon: samme tt i begge.
  • Nærmeste avstand: minimer d(t)2=∣P⃗1(t)−P⃗2(t)∣2d(t)^2 = |\vec P_1(t) - \vec P_2(t)|^2 ved derivasjon.
Oppgaver

Øv selv