Optimering

Største volum, minst materialbruk, størst areal. Bruk den deriverte til å finne den beste løsningen.

R1
Fint å kunne først: Monotoni og ekstremalpunkter
Utforsk

Start her: utforsk

Hvorfor er bier så glade i sekskanter? Hvorfor er brusbokser formet som de er? Svaret er det samme: Noe blir optimalt, altså så stort eller så lite som mulig.

Du har et kvadratisk ark på 30 × 30 cm. Du klipper ut like store kvadrater i hjørnene og bretter opp kantene til en eske uten lokk. Hvor store bør hjørnene være for at esken skal romme mest mulig?

30 cmx
Klipp ut hjørnene og brett langs de stiplede linjene.
24 cm3
Esken: 24 × 24 × 3 cm
1234567891011121314155001000150020002500
Volum: V(x)=x(30−2x)2=3⋅242=1728 cm3V(x) = x(30 - 2x)^2 = 3 \cdot 24^2 = \mathbf{1728}\ \text{cm}^3

Prøv dette:

  1. Gjett først hvor store hjørnene bør være. Prøv deg så fram. Hvor nær var du?
  2. Hva skjer med volumet når hjørnene er veldig små? Veldig store? Hvorfor?
  3. Hvordan ser grafen ut der volumet er størst?
Forklaring

Forklaring

Fra prøving til derivasjon

I eskemodellen fant du det største volumet ved å prøve deg fram. Toppen var der grafen var flat. Med hjørner på xx cm blir bunnen (30−2x)(30 - 2x) cm på hver side, og volumet er

V(x)=x(30−2x)2V(x) = x(30 - 2x)^2

Den deriverte er V′(x)=(30−2x)2−4x(30−2x)=(30−2x)(30−6x)V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x). Den er 0 for x=5x = 5 (og x=15x = 15, der esken er flat). Med hjørner på 5 cm blir volumet 5⋅202=2000 cm35 \cdot 20^2 = 2000\ \text{cm}^3. Når en størrelse er størst eller minst, er grafen flat, og den deriverte er 0. Det er nøkkelen til å løse optimeringsproblemerOptimeringÅ finne den beste løsningen, altså største eller minste verdi av en størrelse, ofte ved å derivere og sette den deriverte lik null..

Seks steg

  1. Tegn en figur og innfør variabler.
  2. Uttrykk størrelsen du vil optimere, som en funksjon av én variabel. Bruk opplysningene i oppgaven (bibetingelsen) til å bli kvitt de andre variablene.
  3. Definisjonsmengde: Hvilke verdier av variabelen gir mening? Lengder kan ikke være negative.
  4. Deriver og løs f′(x)=0f'(x) = 0.
  5. Sjekk at løsningen er et maksimum eller minimum, med fortegnslinje eller andrederiverttesten. Sjekk også endepunktene.
  6. Svar på det oppgaven spør om, med enheter.

Steg 2 er det vanskeligste. Resten er derivasjon du allerede kan.

Modell: Innhegningen mot veggen

Du har 100 m gjerde og vil gjerde inn et rektangulært område mot en lang vegg (veggen er den fjerde siden). La xx være lengden av de to sidene som står vinkelrett på veggen.

5101520253035404550250500750100012501500
A(x)=x(100−2x)A(x) = x(100 - 2x)
Punktet: (25, 1250)(25,\ 1250)

Prøv dette:

  1. Dra punktet og finn omtrent hvilken xx som gir størst areal. Hvor lang blir siden langs veggen da?
  2. Hva skjer med arealet når xx nærmer seg 0 eller 50? Hvorfor?
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Esken

Finn hjørnestørrelsen xx som gir størst volum for esken laget av et 30 × 30 cm ark.

Esken får bunn (30−2x)×(30−2x)(30 - 2x) \times (30 - 2x) og høyde xx. Volumet er V(x)=x(30−2x)2V(x) = x(30 - 2x)^2, med 0<x<150 < x < 15.
Produktregelen: V′(x)=(30−2x)2+x⋅2(30−2x)(−2)=(30−2x)(30−2x−4x)=(30−2x)(30−6x)V'(x) = (30 - 2x)^2 + x \cdot 2(30 - 2x)(-2) = (30 - 2x)(30 - 2x - 4x) = (30 - 2x)(30 - 6x).
V′(x)=0V'(x) = 0 gir x=15x = 15 (utenfor definisjonsmengden) eller x=5x = 5. Fortegnet skifter fra ++ til −- i x=5x = 5, så det er et maksimum.
V(5)=5⋅202=2000V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2000. Største volum er 2000 cm3=22000\ \text{cm}^3 = 2 liter, med hjørner på 5 cm.
Eksempel 2: Innhegningen

Med 100 m gjerde mot en vegg: Hvilke mål gir størst areal?

La xx være sidene vinkelrett på veggen. Siden langs veggen blir 100−2x100 - 2x. Arealet er A(x)=x(100−2x)=100x−2x2A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2, med 0<x<500 < x < 50.
A′(x)=100−4x=0A'(x) = 100 - 4x = 0 gir x=25x = 25. A′′(x)=−4<0A''(x) = -4 < 0, så det er et maksimum.
Målene blir 25 m×50 m25\ \text{m} \times 50\ \text{m}, og arealet er 1250 m21250\ \text{m}^2.
Eksempel 3: Hermetikkboksen

En sylinderformet boks skal romme 1 liter (1000 cm31000\ \text{cm}^3). Hvilken radius gir minst overflate (minst metall)?

Volum: πr2h=1000\pi r^2 h = 1000, så h=1000πr2h = \dfrac{1000}{\pi r^2}.
Overflate (bunn, lokk og side): O=2πr2+2πrh=2πr2+2000rO = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \dfrac{2000}{r}.
O′(r)=4πr−2000r2=0O'(r) = 4\pi r - \dfrac{2000}{r^2} = 0 gir r3=500πr^3 = \dfrac{500}{\pi}, altså r≈5,42r \approx 5{,}42 cm.
Da er h=1000π⋅5,422≈10,8h = \dfrac{1000}{\pi \cdot 5{,}42^2} \approx 10{,}8 cm, altså h=2rh = 2r. Den optimale boksen er like høy som den er bred.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å ha to variabler i funksjonen. Bruk bibetingelsen (for eksempel fast omkrets eller fast volum) til å uttrykke den ene ved den andre.
  • Å glemme definisjonsmengden. Løsninger som gir negative lengder eller null volum, må forkastes.
  • Å ikke sjekke at det er maksimum og ikke minimum. f′(x)=0f'(x) = 0 kan like gjerne gi et bunnpunkt.
  • Å svare med xx når oppgaven spør om noe annet. Spør oppgaven om største areal, er svaret arealet.
  • Å glemme enheter.
Huskelapp

Huskelapp

  • Tegn, innfør variabler, og skriv størrelsen som en funksjon av én variabel.
  • Finn definisjonsmengden.
  • Løs f′(x)=0f'(x) = 0 og sjekk at du har et maksimum eller minimum.
  • Sjekk endepunktene.
  • Svar på spørsmålet, med enheter.
Oppgaver

Øv selv