Delvis integrasjon og delbrøkoppspalting

To verktøy for integraler som substitusjon ikke klarer. Produkter som x·eˣ, og brøker med faktorisert nevner.

R2
Fint å kunne først: Integrasjon ved substitusjonProduktregelen og kvotientregelen
Utforsk

Start her: utforsk

Du kan legge sammen brøker: 12+13=56. Kan du gå baklengs, og dele en brøk opp i enklere brøker? Det kan være nyttig når vi skal integrere, for 1x−1\frac{1}{x - 1} og 1x+2\frac{1}{x + 2} er lette å integrere, mens 1(x−1)(x+2)\frac{1}{(x-1)(x+2)} er vanskelig.

Finn tallene AA og BB slik at de to enkle brøkene til sammen blir lik den vanskelige brøken. Bytt xx for å se om likheten holder for alle xx.

RegelVenstre sideHøyre side
Ax−1+Bx+2=1(x−1)(x+2)\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{1}{(x-1)(x+2)}0,70,1✗ Ulike
Ax−1+Bx+2=x+5(x−1)(x+2)\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{x + 5}{(x-1)(x+2)}0,70,8✗ Ulike

Prøv dette:

  1. Prøv deg fram med AA og BB til den første likheten stemmer. Sjekk at den stemmer for flere verdier av xx.
  2. Finn AA og BB for den andre brøken. Kan begge likhetene gjelde samtidig?
  3. Sett x=1x = 1 i den første likheten. Hva skjer? (Det er et hint til en smart regnemetode.)
Forklaring

Forklaring

Delbrøkoppspalting

I utforskingen fant du at A=13A = \frac{1}{3} og B=−13B = -\frac{1}{3} for den første brøken. En brøk med faktorisert nevner kan skrives som en sum av enklere brøker:

1(x−1)(x+2)=Ax−1+Bx+2\frac{1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}

Gang med nevneren: 1=A(x+2)+B(x−1)1 = A(x + 2) + B(x - 1). Sett inn smarte verdier:

  • x=1x = 1: 1=3A1 = 3A, så A=13A = \frac{1}{3}.
  • x=−2x = -2: 1=−3B1 = -3B, så B=−13B = -\frac{1}{3}.

Hver delbrøkDelbrøkoppspaltingÅ skrive en brøk med faktorisert nevner som en sum av enklere brøker, som 1(x−1)(x+2)=Ax−1+Bx+2\frac{1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}. integreres til en logaritme:

∫dx(x−1)(x+2)=13ln⁡∣x−1∣−13ln⁡∣x+2∣+C\int \frac{dx}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{3}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{3}\ln\lvert x + 2\rvert + C

Delvis integrasjon

Substitusjon er kjerneregelen baklengs. Produktregelen baklengs gir delvis integrasjon. Den løser integraler som ∫x ex dx\int x\,e^x\,dx, der to ulike typer funksjoner er ganget sammen. Produktregelen sier (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'. Integrerer vi begge sider og ordner, får vi delvis integrasjonDelvis integrasjonProduktregelen baklengs: ∫u′v dx=uv−∫uv′ dx\int u'v\,dx = uv - \int uv'\,dx. Brukes når integranden er et produkt, for eksempel xexx e^x.:

∫u′ v dx=u v−∫u v′ dx\int u'\,v\,dx = u\,v - \int u\,v'\,dx

Poenget er å bytte et vanskelig integral mot et lettere. Velg

  • vv: noe som blir enklere når det deriveres (polynomer, ln⁡x\ln x),
  • u′u': noe som er lett å integrere (exe^x, sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x).

For ∫x ex dx\int x\,e^x\,dx: v=xv = x (så v′=1v' = 1) og u′=exu' = e^x (så u=exu = e^x):

∫x ex dx=x ex−∫ex⋅1 dx=x ex−ex+C\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x \cdot 1\,dx = x\,e^x - e^x + C
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: x cos x

Finn ∫xcos⁡x dx\displaystyle\int x\cos x\,dx.

v=xv = x og u′=cos⁡xu' = \cos x, så v′=1v' = 1 og u=sin⁡xu = \sin x.
∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C\displaystyle\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.
Eksempel 2: ln x

Finn ∫ln⁡x dx\displaystyle\int \ln x\,dx.

Skriv ln⁡x=1⋅ln⁡x\ln x = 1 \cdot \ln x. Velg v=ln⁡xv = \ln x og u′=1u' = 1, så v′=1xv' = \frac{1}{x} og u=xu = x.
∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x⋅1x dx=xln⁡x−x+C\displaystyle\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C.
Eksempel 3: To ganger

Finn ∫x2ex dx\displaystyle\int x^2 e^x\,dx.

v=x2v = x^2, u′=exu' = e^x: ∫x2ex dx=x2ex−∫2x ex dx\displaystyle\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - \int 2x\,e^x\,dx.
Det nye integralet er som før: ∫2x ex dx=2(xex−ex)\displaystyle\int 2x\,e^x\,dx = 2(xe^x - e^x).
∫x2ex dx=x2ex−2xex+2ex+C=ex(x2−2x+2)+C\displaystyle\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C.
Eksempel 4: Delbrøk

Finn ∫x+5x2+x−2 dx\displaystyle\int \frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx.

x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2). Sett x+5(x−1)(x+2)=Ax−1+Bx+2\frac{x + 5}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}.
x+5=A(x+2)+B(x−1)x + 5 = A(x + 2) + B(x - 1). x=1x = 1: 6=3A6 = 3A, så A=2A = 2. x=−2x = -2: 3=−3B3 = -3B, så B=−1B = -1.
∫(2x−1−1x+2)dx=2ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+2∣+C\displaystyle\int \left(\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 2}\right)dx = 2\ln\lvert x - 1\rvert - \ln\lvert x + 2\rvert + C.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Feil valg av u′u' og vv. Velger du v=exv = e^x og u′=xu' = x i ∫xex dx\int xe^x\,dx, blir det nye integralet ∫x22ex dx\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx, som er verre.
  • Fortegnsfeil. Det er minus foran det nye integralet: uv−∫uv′ dxuv - \int uv'\,dx.
  • Delbrøk uten å faktorisere først. Nevneren må skrives som produkt av lineære faktorer.
  • Telleren har for høy grad. Er graden i telleren minst like høy som i nevneren, må du gjøre polynomdivisjon først.
Huskelapp

Huskelapp

  • Delvis integrasjon: ∫u′v dx=uv−∫uv′ dx\int u'v\,dx = uv - \int uv'\,dx
  • vv = det som blir enklere av derivasjon, u′u' = det som er lett å integrere.
  • ∫xex dx=ex(x−1)+C\int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C, ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C
  • Delbrøk: px+q(x−a)(x−b)=Ax−a+Bx−b\frac{px + q}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}. Sett inn x=ax = a og x=bx = b.
  • ∫Ax−a dx=Aln⁡∣x−a∣+C\int \frac{A}{x - a}\,dx = A\ln\lvert x - a\rvert + C
Oppgaver

Øv selv