Areal mellom kurver · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Et jorde ligger mellom en kurvet vei og en rett elv. Hvor stort er jordet? Én idé: Del jordet i tynne strimler på tvers, og se på én strimmel om gangen.

Flytt strimmelen og endre bredden. Enhetene er hundre meter.

veienelva

Strimmelens plass−0,5Strimmelens bredde0,2

Ved strimmelen er veien i høyde 3,75 og elva i høyde 1,5.

Strimmelen er omtrent 2,25 høy og 0,2 bred, så arealet er omtrent 0,45.

Prøv dette:

Hvordan finner du høyden til strimmelen fra høydene til veien og elva?
Hvor er strimmelen høyest? Hvor blir den borte?
Hvordan kan du finne arealet av hele jordet? Hva skjer når strimlene blir veldig tynne?

Forklaring

Formelen

Hver strimmel er omtrent et rektangel, med høyde lik avstanden mellom veien og elva: øverste graf minus nederste. Legger vi sammen strimlene og lar dem bli uendelig tynne, får vi et integral. For jordet er det

\int_{-2}^{1} \big((-x^2 + 4) - (x + 2)\big)\,dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2)\,dx = 4{,}5

altså $4{,}5 \cdot 100 \cdot 100 = 45\,000\ \text{m}^2$ . Generelt: Hvis $f(x) \geq g(x)$ på $[a, b]$ , er arealet mellom grafene

A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx

Øverste minus nederste. Det spiller ingen rolle om grafene ligger over eller under $x$ -aksen, bare hvilken som ligger øverst.

Oppskrift

Finn skjæringspunktene ved å løse $f(x) = g(x)$ . De er ofte grensene.
Finn ut hvilken graf som er øverst mellom skjæringspunktene (sett inn et testpunkt).
Integrer øverste minus nederste.
Bytter grafene plass underveis, må du dele opp integralet i flere deler.

Modell: Arealet mellom en parabel og en linje

Det skraverte området ligger mellom $f(x) = -x^2 + 4$ og $g(x) = x + c$ . Endre $c$ og se hvordan skjæringspunktene og arealet endrer seg.

f(x) = -x^2 + 4

g(x) = x + c

c

2

Skjæringspunkter:

x = -2

og

x = 1

Areal:

4{,}5

Prøv dette:

Hva skjer når $c = 4{,}25$ ? Hvorfor?
Sett $c = 2$ og kontroller arealet med regning.

Areal mot x-aksen

Arealet mellom en graf og $x$ -aksen er et spesialtilfelle med $g(x) = 0$ . Ligger grafen under aksen, blir integralet negativt, og arealet er absoluttverdien.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Parabel og linje

Finn arealet mellom $f(x) = -x^2 + 4$ og $g(x) = x + 2$ .

Skjæring:

-x^2 + 4 = x + 2

gir

x^2 + x - 2 = 0

, altså

x = -2

og

x = 1

.

Testpunkt

x = 0

:

f(0) = 4 > g(0) = 2

, så

f

er øverst.

A = \displaystyle\int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2)\,dx = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{1}

.

= \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{9}{2} = 4{,}5

.

Eksempel 2: To parabler

Finn arealet mellom $f(x) = x^2$ og $g(x) = 2x - x^2$ .

x^2 = 2x - x^2

gir

2x^2 - 2x = 0

, altså

x = 0

og

x = 1

.

Testpunkt

x = \frac{1}{2}

:

g = \frac{3}{4} > f = \frac{1}{4}

, så

g

er øverst.

A = \displaystyle\int_0^1 (2x - 2x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

.

Eksempel 3: Grafen krysser aksen

Finn arealet mellom $f(x) = x^3 - x$ og $x$ -aksen for $-1 \leq x \leq 1$ .

Nullpunkter:

x = -1, 0, 1

. Fra

-1

til

0

er

f \geq 0

, fra

0

til

1

er

f \leq 0

.

\displaystyle\int_{-1}^0 (x^3 - x)\,dx = \frac{1}{4}

og

\displaystyle\int_0^1 (x^3 - x)\,dx = -\frac{1}{4}

.

Arealet er 14+14=12. (Integralet over hele intervallet er 0.)

Vanlige feil

Nederste minus øverste. Gir negativt svar. Sjekk med et testpunkt.
Å ikke dele opp når grafene krysser. Da trekkes deler av arealet fra i stedet for å legges til.
Å bruke integralet som areal når grafen er under aksen. Arealet er alltid positivt.
Feil grenser. Grensene er skjæringspunktene, ikke nødvendigvis nullpunktene.

Huskelapp

$A = \int_a^b \big(\text{øverst} - \text{nederst}\big)\,dx$
Grenser: løs $f(x) = g(x)$ .
Testpunkt for å se hvem som er øverst.
Bytter grafene plass: del opp integralet.