Regne ut grenseverdier · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Her er to funksjoner. Den første er $f(x) = x + 3$ . Den andre er $g(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ . Grafene ser helt like ut. Dra punktet og sammenlign funksjonsverdiene.

f(x) = x + 3

f(1) = 4

g(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}

g(1) = 4

x

1

Prøv dette:

Flytt punktet sakte mot $x = 3$ . Hva skjer med $g$ akkurat der, og hva skjer med $f$ ?
Hva er $f(2{,}9)$ og $g(2{,}9)$ ? Og $f(3{,}1)$ og $g(3{,}1)$ ? Finnes det noen forskjell utenom $x = 3$ ?
Hvilket tall nærmer $g$ seg når $x$ nærmer seg 3?

Forklaring

Et enklere uttrykk med samme grenseverdi

Punktet beveger seg helt liktpå begge grafene. Men i $x = 3$ er $g$ plutselig ikke definert, fordi vi får 00. $f$ er definert der, med $f(3) = 6$ . Overalt ellers er de like, fordi $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ , så

g(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 \qquad \text{når } x \neq 3

En grenseverdi bryr seg bare om hva som skjer nær $x = 3$ , ikke i $x = 3$ . Nær 3 er $g$ og $f$ helt like, så de har samme grenseverdi: $\lim\limits_{x \to 3} g(x) = 6$ .

Det er hovedidéen på denne siden: Vi bytter ut et vanskelig uttrykk med et enklere som er likt overalt unntatt i punktet vi nærmer oss. En verditabell kan gi en god gjetning, men algebraen gir et sikkert svar.

Velg strategi

Start alltid med å sette inn $x = a$ . Hva du får, bestemmer strategien:

Sett inn

x = a

Du får et tall

Ferdig! Grenseverdien er det tallet.

Du får 00

Polynomer: faktoriser og forkort
Kvadratrøtter: gang med den konjugerte
Usikker: lag en verditabell

Sett inn på nytt i det forenklede uttrykket.

Du får c0 med

c \neq 0

Loddrett asymptote. Grenseverdien finnes ikke. Sjekk fortegnet på hver side.

Strategi 1: Innsetting

Polynomer, rotfunksjoner, eksponentialfunksjoner og brøker der nevneren ikke blir 0, er kontinuerlige. Da er grenseverdien lik funksjonsverdien:

\lim_{x \to 2} (x^3 - 4x + 1) = 8 - 8 + 1 = 1

Strategi 2: Faktoriser og forkort

Får du 00 med polynomer, er $(x - a)$ en faktor både i telleren og nevneren. Faktoriser og forkort:

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x+2} = \frac{5}{4}

Husk konjugatsetningen, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , og at $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$ der $x_1$ og $x_2$ er nullpunktene.

Strategi 3: Gang med den konjugerte

Står det en kvadratrot, gang med den konjugerte over og under brøkstreken. Da forsvinner roten fra telleren:

\frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} \cdot \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 3}

Dermed er $\lim\limits_{x \to 9} \dfrac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} = \dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac{1}{6}$ .

Modell: Tabell og algebra

Her er konjugateksempelet over. Verditabellen og algebraen bør gi samme svar, 16≈0,1667.

Avstand til

x = 9

1Dra mot høyre for å komme nærmere.

x (fra venstre)	f(x)	x (fra høyre)	f(x)
8	0,1716	10	0,1623

f(x) = \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}

Kom helt inn til avstand 0,0001 for å se konklusjonen.

Strategi 4: Tallet delt på null

Får du c0 med $c \neq 0$ , vokser brøken uten grense. Grafen har en loddrett asymptote, og grenseverdien finnes ikke. Undersøk gjerne fortegnet fra hver side for å se om grafen går mot $+\infty$ eller $-\infty$ .

Eksempel: $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x + 1}{x - 2}$ . Innsetting gir 30. Telleren nærmer seg 3, mens nevneren blir et bitte lite tall. Se hva som skjer fra hver side:

$x$	$1{,}9$	$1{,}99$	$1{,}999$	$2$	$2{,}001$	$2{,}01$	$2{,}1$
$\frac{x + 1}{x - 2}$	$-29$	$-299$	$-2999$	ikke definert	$3001$	$301$	$31$

Fra venstre er nevneren negativ, og brøken går mot $-\infty$ . Fra høyre er nevneren positiv, og brøken går mot $+\infty$ . Grenseverdien finnes ikke, og linja $x = 2$ er en loddrett asymptote.

Modell: Fortegnet på hver side

Se hvordan fortegnet er ulikt på de to sidene.

Avstand til

x = 2

1Dra mot høyre for å komme nærmere.

x (fra venstre)	f(x)	x (fra høyre)	f(x)
1	−2	3	4

f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}

Kom helt inn til avstand 0,0001 for å se konklusjonen.

Prøv dette:

Sammenlign med modellen under strategi 3: Hvorfor nærmer verdiene seg et tall der, men ikke her?
Hva er fortegnet på telleren og nevneren når $x$ er litt mindre enn 2? Og litt større?

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Faktorisering med abc-formelen

Finn $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x^2 - 2x - 3}{x + 1}$ .

Innsetting:

\dfrac{1 + 2 - 3}{-1 + 1} = \dfrac{0}{0}

. Ubestemt, så

(x + 1)

må være en faktor i telleren.

Nullpunktene til

x^2 - 2x - 3

er

x = 3

og

x = -1

, så

x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

.

\dfrac{(x-3)(x+1)}{x+1} = x - 3

for

x \neq -1

.

\lim\limits_{x \to -1} (x - 3) = -4

.

Eksempel 2: Tredjegradsuttrykk

Finn $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x - 1}$ .

Innsetting gir 00, så

(x - 1)

er en faktor i

x^3 - 1

.

Polynomdivisjon (eller formelen

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

) gir

x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

.

\lim\limits_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1 + 1 + 1 = 3

.

Eksempel 3: Konjugatmetoden

Finn $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ .

Innsetting gir 00. Det står en kvadratrot, så vi ganger med den konjugerte,

\sqrt{x+1} + 1

.

Telleren blir

(\sqrt{x+1} - 1)(\sqrt{x+1} + 1) = (x + 1) - 1 = x

.

\dfrac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1}

for

x \neq 0

.

\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \dfrac{1}{2}

.

Eksempel 4: Tallet delt på null

Finn $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2x}{(x - 1)^2}$ .

Innsetting: 20. Telleren er ikke 0, så dette er strategi 4. Grenseverdien er ikke et tall.

Fortegn: Telleren er positiv nær

x = 1

. Nevneren

(x - 1)^2

er et kvadrat og derfor positiv på begge sider.

Brøken går mot

+\infty

fra begge sider. Vi skriver

\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2x}{(x - 1)^2} = \infty

, og grenseverdien finnes ikke som et tall.

x = 1

er en loddrett asymptote.

Vanlige feil

Å forkorte ledd i stedet for faktorer. $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} \neq \dfrac{x^2}{x} - \dfrac{9}{3}$ . Du kan bare forkorte faktorer, altså ting som er ganget sammen.
Å skrive «=00» som svar. 00 er et signal om å jobbe videre, ikke en grenseverdi.
Å glemme «lim» underveis. Skriv $\lim\limits_{x \to a}$ foran hvert uttrykk helt til du faktisk setter inn. Uten lim er likhetstegnene feil.
Å blande 00 og c0. Det første er ubestemt og kan ha en grenseverdi. Det andre gir en asymptote og ingen grenseverdi.

Huskelapp

Start med å sette inn $x = a$ .
Et tall: ferdig.
00: faktoriser og forkort, eller gang med den konjugerte. Sett inn på nytt.
c0 med $c \neq 0$ : loddrett asymptote, og grenseverdien finnes ikke.
Konjugatsetningen: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ .