Grenseverdier mot uendelig og asymptoter

Hva skjer med funksjonen langt ute på x-aksen? Horisontale og loddrette asymptoter, og tallet e som en grenseverdi.

R1
Fint å kunne først: Regne ut grenseverdierRasjonale funksjoner
Utforsk

Start her: utforsk

En kopp te på 90 °C står på kjøkkenbenken. Den blir kaldere og kaldere. Blir den til slutt iskald? Hvor ender temperaturen på lang sikt?

Dra tiden framover, og endre temperaturen i rommet.

20406080100120102030405060708090100minutter°C
temperaturen i teentemperaturen i rommet
Etter 10 minutter er teen 51,5 °C.

Prøv dette:

  1. Hvor varm er teen etter 30 minutter? Etter 60? Etter 120?
  2. Hvilken temperatur nærmer teen seg? Blir den noen gang kaldere enn det?
  3. Endre romtemperaturen. Hva skjer med tallet teen nærmer seg?
Forklaring

Forklaring

Grenseverdier når x går mot uendelig

Teen nærmet seg romtemperaturen, men ble aldri kaldere enn den. Etter 120 minutter var den nesten nede på 20 °C. Mange modeller oppfører seg slik: en bestand som vokser mot det miljøet tåler, eller konsentrasjonen av en medisin i blodet. Spørsmålet «hvor ender dette på lang sikt?» er en grenseverdi når x→∞x \to \infty. For teen er lim⁡t→∞T(t)=20\lim\limits_{t \to \infty} T(t) = 20.

Generelt betyr lim⁡x→∞f(x)=b\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = b at f(x)f(x) kommer så nær bb vi vil, bare xx er stor nok. Grafen har da en horisontal asymptoteHorisontal asymptoteEn vannrett linje y=by = b som grafen nærmer seg når x→∞x \to \infty eller x→−∞x \to -\infty. y=by = b.

Byggesteinen er

lim⁡x→∞1x=0og mer genereltlim⁡x→∞cxn=0(n>0)\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad \text{og mer generelt} \qquad \lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0 \quad (n > 0)

Rasjonale funksjoner: del på den høyeste potensen

Del alle ledd i telleren og nevneren på den høyeste potensen av xx i nevneren:

lim⁡x→∞6x2+x3x2−5=lim⁡x→∞6+1x3−5x2=6+03−0=2\lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 + x}{3x^2 - 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{1}{x}}{3 - \frac{5}{x^2}} = \frac{6 + 0}{3 - 0} = 2

Det gir tre tommelfingerregler:

GradEksempellim⁡x→∞\lim\limits_{x \to \infty}
Telleren lavestx+1x2+4\dfrac{x + 1}{x^2 + 4}00
Like høy6x2+x3x2−5\dfrac{6x^2 + x}{3x^2 - 5}forholdet mellom de ledende koeffisientene: 63=2
Telleren høyestx3x+1\dfrac{x^3}{x + 1}finnes ikke (vokser uten grense)

Loddrette asymptoter

En rasjonal funksjon har en loddrett asymptoteLoddrett asymptoteEn loddrett linje x=ax = a som grafen nærmer seg mens funksjonsverdiene vokser mot +∞+\infty eller −∞-\infty. x=ax = a der nevneren er 0 og telleren ikke er 0. Er begge 0, må du forkorte først. Da kan det være et hull i stedet.

Modell: Asymptoter til en brøkfunksjon

Funksjonen f(x)=ax+bcx+df(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d} har en loddrett asymptote der nevneren er 0, og en horisontal asymptote gitt av ac. Endre parameterne og se hvordan asymptotene (de stiplede linjene) flytter seg.

−8−6−4−22468−8−6−4−22468
f(x)=ax+bcx+df(x) = \frac{ax + b}{cx + d}
Loddrett asymptote: x=2x = 2
Horisontal asymptote: y=2y = 2

Hvem vinner når x blir stor?

Når x→∞x \to \infty, vokser noen funksjoner mye raskere enn andre:

ln⁡x ≪ x ≪ x10 ≪ ex\ln x \ \ll\ x \ \ll\ x^{10} \ \ll\ e^x

En eksponentialfunksjon slår alltid en potensfunksjon til slutt, og en potensfunksjon slår alltid logaritmen.

Modell: Tallet e som en grenseverdi

Setter du 1 krone i banken med 100 % rente, har du 2 kroner etter ett år. Får du renten fordelt på nn ganger i året, har du (1+1n)n\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n kroner. Hva skjer når nn blir veldig stor? Dra i grafen.

1020304050601,522,53
(1+1n)n\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
Punktet: (30, 2,67)(30,\ 2{,}67)
Den stiplede linjen er y=e≈2,71828y = e \approx 2{,}71828.

Grenseverdien er Eulers tallEulers tallDet irrasjonale tallet e≈2,71828e \approx 2{,}71828. Det er grunntallet i den naturlige eksponentialfunksjonen exe^x og den naturlige logaritmen ln⁡x\ln x. e≈2,71828e \approx 2{,}71828. Uansett hvor ofte renten legges til, blir det aldri mer enn ee kroner.

Prøv dette:

  1. Hva må til for at den horisontale asymptoten skal være y=0y = 0?
  2. Kan grafen til en funksjon krysse sin egen horisontale asymptote? Prøv xx2+1\frac{x}{x^2 + 1} i tankene: hva er lim⁡x→∞\lim\limits_{x \to \infty}, og hva skjer nær x=1x = 1?
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Like høy grad

Finn lim⁡x→∞4x2−3x2x2+7\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{4x^2 - 3x}{2x^2 + 7}.

Den høyeste potensen i nevneren er x2x^2. Del alle ledd på x2x^2: 4−3x2+7x2\dfrac{4 - \frac{3}{x}}{2 + \frac{7}{x^2}}.
Når x→∞x \to \infty, går 3x og 7x2\frac{7}{x^2} mot 0.
Grenseverdien er 42=2. Grafen har den horisontale asymptoten y=2y = 2.
Eksempel 2: Finn alle asymptotene

Finn asymptotene til f(x)=3x−6x+1f(x) = \dfrac{3x - 6}{x + 1}.

Loddrett: Nevneren er 0 når x=−1x = -1. Da er telleren −3−6=−9≠0-3 - 6 = -9 \neq 0. Altså er x=−1x = -1 en loddrett asymptote.
Horisontal: Like høy grad, så lim⁡x→±∞f(x)=31=3\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{3}{1} = 3. Altså er y=3y = 3 en horisontal asymptote.
Eksempel 3: En modell på lang sikt

Antall besøkende på en nettside tt uker etter lansering er modellert ved B(t)=5000tt+4B(t) = \dfrac{5000t}{t + 4}. Hva skjer på lang sikt?

Del på tt: B(t)=50001+4tB(t) = \dfrac{5000}{1 + \frac{4}{t}}.
Når t→∞t \to \infty, går 4t→0\frac{4}{t} \to 0, så B(t)→5000B(t) \to 5000.
Modellen sier at antallet besøkende per uke stabiliserer seg på omtrent 5000.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å dele på feil potens. Del på den høyeste potensen i nevneren. Da ser du med en gang hva som går mot 0.
  • Å tro at grafen aldri kan krysse en horisontal asymptote. Den kan krysse den mange ganger. Asymptoten sier bare hva som skjer langt ute.
  • Å sette ∞∞=1\frac{\infty}{\infty} = 1. ∞∞\frac{\infty}{\infty} er et ubestemt uttrykk, akkurat som 00.
  • Å glemme å sjekke telleren ved loddrette asymptoter. Er både telleren og nevneren 0, kan det være et hull.
Huskelapp

Huskelapp

  • lim⁡x→∞cxn=0\lim\limits_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0 for n>0n > 0.
  • Rasjonale funksjoner: del på den høyeste potensen i nevneren.
  • Samme grad: horisontal asymptote = forholdet mellom de ledende koeffisientene.
  • Loddrett asymptote: nevneren er 0, telleren er ikke 0.
  • ln⁡x≪xn≪ex\ln x \ll x^n \ll e^x når x→∞x \to \infty.
  • e=lim⁡n→∞(1+1n)n≈2,71828e = \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828.
Oppgaver

Øv selv