Monotoni og ekstremalpunkter · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Tenk deg en fjelltur. Når stien går oppover, puster du tungt. Når den går nedover, går det lett. Grafen viser høyden over havet langs stien.

Gå langs stien med glidebryteren. Den oransje linja viser hvor bratt stien er akkurat der du står.

høyden langs stienbrattheten der du står

Gått (km)0,4

Du er 370 meter over havet.

Akkurat her endrer høyden seg med 468 meter per km.

Prøv dette:

Hvor går stien oppover, og hvor går den nedover? Hva er fortegnet til brattheten i hvert tilfelle?
Finn toppen og bunnen av stien. Hva er brattheten der?
Hva skjer med fortegnet til brattheten når du går over toppen? Og over bunnen?

Forklaring

Stigende og synkende

Brattheten av stien er den deriverte. Der stien gikk oppover, var den positiv. Der stien gikk nedover, var den negativ. På toppen og i bunnen var den 0. Med symboler:

Er $f'(x) > 0$ i et intervall, er $f$ stigende (voksende) der.
Er $f'(x) < 0$ i et intervall, er $f$ synkende (avtakende) der.

Ekstremalpunkter

Der grafen snur, har vi et ekstremalpunkt:

Type	Fortegn til $f'$	Grafen
Toppunkt	skifter fra $+$ til $-$	stiger, så synker
Bunnpunkt	skifter fra $-$ til $+$	synker, så stiger
Terrassepunkt	$f' = 0$ uten fortegnsskifte	flat hylle, ikke et ekstremalpunkt

På fjellstien skiftet brattheten fortegn fra $+$ til $-$ på toppen (etter 1 km) og fra $-$ til $+$ i bunnen (etter 3 km). Legg merke til: $f'(a) = 0$ er ikke nok. Det må også være et fortegnsskifte.

Oppskrift: drøfting med fortegnslinje

Deriver $f$ .
Løs $f'(x) = 0$ og faktoriser $f'(x)$ .
Lag en fortegnslinje for $f'(x)$ .
Les av hvor $f$ stiger og synker, og hvor ekstremalpunktene er.
Regn ut $y$ -verdiene: $f(x)$ i hvert ekstremalpunkt.

Modell: Grafen og fortegnslinjen

Fargene viser hvor grafen stiger (grønn) og synker (rød). Under grafen er fortegnslinjen for $f'(x)$ . Bytt funksjon og se hvordan fortegnslinjen henger sammen med grafen.

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1

,

f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)

Toppunkt:

(1,\ 5)

Bunnpunkt:

(3,\ 1)

Heltrukket linje: den deriverte er positiv (grafen stiger). Stiplet linje: negativ (grafen synker).

Prøv dette:

For $x^3$ er $f'(0) = 0$ . Hvorfor er det likevel ikke et topp- eller bunnpunkt?
For $xe^{-x}$ : Hvorfor er det bare faktoren $(1 - x)$ som betyr noe for fortegnet?

Største og minste verdi i et intervall

Skal du finne den største eller minste verdien i et lukket intervall $[a, b]$ , må du i tillegg sjekke endepunktene $f(a)$ og $f(b)$ . Den største verdien kan godt ligge i kanten.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Fullstendig drøfting

Drøft $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ .

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

.

f'(x) = 0

for

x = 1

og

x = 3

. Fortegnslinjen:

+

før 1,

-

mellom 1 og 3,

+

etter 3.

f

er stigende for

x \leq 1

og

x \geq 3

, og synkende for

1 \leq x \leq 3

.

f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5

og

f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1

. Toppunkt

(1, 5)

og bunnpunkt

(3, 1)

.

Eksempel 2: Med eksponentialfunksjon

Finn ekstremalpunktene til $g(x) = xe^{-x}$ .

Produktregelen:

g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)

.

e^{-x} > 0

alltid, så fortegnet bestemmes av

1 - x

: positiv for

x < 1

, negativ for

x > 1

.

Toppunkt i

x = 1

:

g(1) = e^{-1} \approx 0{,}37

. Toppunktet er

(1, \frac{1}{e})

.

Eksempel 3: Største og minste verdi

Finn største og minste verdi til $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ for $x \in [0, 4]$ .

Kandidater: ekstremalpunktene

x = 1

og

x = 3

, og endepunktene

x = 0

og

x = 4

.

f(0) = 1

,

f(1) = 5

,

f(3) = 1

og

f(4) = 64 - 96 + 36 + 1 = 5

.

Største verdi er 5 (i

x = 1

og

x = 4

). Minste verdi er 1 (i

x = 0

og

x = 3

).

Vanlige feil

Å tro at $f'(a) = 0$ alltid gir et ekstremalpunkt. $x^3$ har $f'(0) = 0$ , men et terrassepunkt.
Å lage fortegnslinje for $f$ i stedet for $f'$ . Det er fortegnet til den deriverte som forteller om grafen stiger.
Å glemme $y$ -verdien. Et punkt har to koordinater. Regn ut $f(x)$ i det opprinnelige uttrykket.
Å glemme endepunktene. I et lukket intervall kan største eller minste verdi ligge i kanten.
Å ikke faktorisere $f'$ . Uten faktorisering er det vanskelig å se fortegnet i hvert intervall.

Huskelapp

$f' > 0$ : stigende. $f' < 0$ : synkende.
Toppunkt: $f'$ skifter $+ \to -$ . Bunnpunkt: $f'$ skifter $- \to +$ .
$f'(a) = 0$ uten fortegnsskifte: terrassepunkt.
Faktoriser $f'$ og lag fortegnslinje.
Største og minste verdi i $[a, b]$ : sjekk også endepunktene.