Modellering med derivasjon · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

På toppen av vulkanen Mauna Loa på Hawaii har forskere målt mengden CO₂ i lufta siden 1958. Tallene stiger år for år. Men det viktigste spørsmålet er hvor fort det øker, og om økningen går raskere eller saktere enn før.

Under er årsmiddelet hvert femte år fra 1960 til 2020, målt i ppm (milliondeler). Kilde: NOAA.

år 1990

Modell (med

t = \text{år} - 1960

):

f(t) = 0{,}01302t^{2} + 0{,}8318t + 316{,}4

Den deriverte:

f'(t) = 0{,}02604t + 0{,}8318

I år 1990: modellen gir 353 ppm, og vekstfarten er 1,61 ppm per år.

Forklaringsgrad

R^2 = 0{,}9994

. Jo nærmere 1, jo bedre passer modellen til dataene, men sjekk alltid om modellen gir mening utenfor dataene.

Data (år og CO₂ (ppm), én linje per punkt)

Lim gjerne inn egne målinger.

Prøv dette:

Se på tallene: Hvor mye økte CO₂ fra 1960 til 1965? Fra 2015 til 2020?
Regn om til økning per år i begge periodene. Går økningen raskere eller saktere enn før?
Dra i årstallet. Hva sier modellen om hvor fort CO₂ øker i 1960 og i 2020? Stemmer det med det du regnet ut?

Forklaring

Fra data til vekstfart

Fra 1960 til 1965 økte CO₂ med $3{,}1$ ppm, altså omtrent $0{,}6$ ppm per år. Fra 2015 til 2020 økte det med $13{,}2$ ppm, omtrent $2{,}6$ ppm per år. Økningen går altså raskere nå. «Hvor fort» er en derivert. Men vi har bare målepunkter, ikke en funksjon. Løsningen er å lage en modell: en funksjon som passer godt til dataene. Så kan vi derivere modellen. Oppskriften:

Plott dataene. Se på formen: rett linje, krummer oppover, flater ut?
Velg modelltype ut fra formen og det du vet om situasjonen. Lineær, polynom, eksponentiell eller logistisk?
Gjør regresjon i et digitalt verktøy for å finne funksjonsuttrykket.
Vurder modellen. Passer den dataene (se på grafen og forklaringsgraden $R^2$ )? Gir den mening utenfor dataene?
Deriver modellen og tolk $f'(t)$ som vekstfart, med riktig enhet.

Enheter

Enheten til den deriverte er alltid enheten til $y$ per enhet til $x$ . Måles CO₂ i ppm (milliondeler) og tiden i år, er enheten til $f'(t)$ ppm per år.

Vær forsiktig med å spå

En modell er laget for å passe dataene du har. Å bruke den langt utenfor dataene (ekstrapolere) kan gi helt feil svar. Et andregradspolynom som passer fint i 60 år, kan gi absurde verdier om 500 år.

Prøv med dine egne data

Bytt ut tallene i tekstfeltet med egne målinger: temperaturen i en kopp te, høyden til en plante, antall innbyggere i kommunen din (SSB) eller strømforbruket hjemme. Velg den modellen som passer best, og tolk den deriverte.

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Tolk en andregradsmodell

Regresjon på CO₂-dataene gir omtrent $f(t) = 0{,}0130t^2 + 0{,}832t + 316{,}4$ , der $t$ er år etter 1960 og $f$ er ppm. Finn og tolk vekstfarten i 2020.

f'(t) = 0{,}0260t + 0{,}832

.

2020 svarer til

t = 60

:

f'(60) = 0{,}0260 \cdot 60 + 0{,}832 \approx 2{,}39

.

I 2020 økte CO₂-innholdet med omtrent 2,4 ppm per år, ifølge modellen.

Eksempel 2: Hva betyr den andrederiverte?

Hva forteller $f''(t)$ for CO₂-modellen?

f''(t) = 0{,}0260 > 0

for alle

t

.

Vekstfarten øker hele tiden. CO₂-innholdet stiger ikke bare, det stiger stadig raskere, med omtrent 0,026 ppm per år per år.

Eksempel 3: Kritisk vurdering

Modellen gir $f(90) \approx 497$ ppm for 2050. Hvor mye kan vi stole på dette?

Modellen passer svært godt fra 1960 til 2020 (

R^2 \approx 0{,}999

).

Men utviklingen videre avhenger av utslippene i årene som kommer. En modell basert på historiske data kan ikke vite om utslippene øker, stabiliserer seg eller går ned.

Tallet er derfor et svar på spørsmålet «hva skjer hvis utviklingen fortsetter som før?», ikke en sikker spådom.

Vanlige feil

Å glemme at $t$ er forskjøvet. Står $t$ for år etter 1960, må 2020 settes inn som $t = 60$ , ikke $t = 2020$ .
Å velge modell bare etter $R^2$ . En modell med høyere grad passer alltid dataene bedre, men kan være meningsløs.
Å oppgi den deriverte uten enhet. «2,4» betyr ingenting. «2,4 ppm per år» betyr noe.
Å ekstrapolere ukritisk. Modeller er best innenfor dataområdet.

Huskelapp

Plott, velg modelltype, gjør regresjon, vurder modellen, deriver og tolk.
Enheten til $f'$ : enheten til $y$ per enhet til $x$ .
$f'' > 0$ : vekstfarten øker. $f'' < 0$ : vekstfarten avtar.
Vær forsiktig med å bruke modellen langt utenfor dataene.