Krumning og vendepunkter

Den andrederiverte forteller hvordan grafen bøyer seg. «Veksten avtar», vendepunkter og andrederiverttesten.

R1
Fint å kunne først: Monotoni og ekstremalpunkter
Utforsk

Start her: utforsk

På nyhetene hører du: «Smitten øker fortsatt, men veksten avtar.» Hva betyr det? Grafen viser hvor mange som er smittet til sammen, dag for dag (tenkte tall).

Flytt dagen. Den oransje linja viser hvor fort antallet øker akkurat den dagen.

5101520253010020030040050060070080090010001100dagersmittede totalt
smittede totaltstigningen akkurat nå
Dag 8: 29 smittede til sammen.
Nye smittede per dag akkurat nå: 14,2

Prøv dette:

  1. Følg antall nye smittede per dag fra dag 0 til dag 30. Når øker det, og når minker det?
  2. Hvilken dag øker antallet smittede raskest? Hvordan ser grafen ut der?
  3. Finn en dag der «smitten øker fortsatt, men veksten avtar». Hvordan ser du det på grafen? Hvilken vei bøyer den?
Forklaring

Forklaring

Den andrederiverte

I smittemodellen økte antall nye smittede per dag fram til dag 15, og så minket det. Antall nye smittede per dag er stigningstallet, altså den deriverte. «Veksten avtar» betyr at stigningstallet minker, mens grafen fortsatt stiger. Hvordan stigningstallet endrer seg, måles med den deriverte av den deriverte.

Den andrederiverteDen andrederiverteDen deriverte av den deriverte, f′′(x)f''(x). Den forteller hvordan stigningstallet endrer seg, altså hvordan grafen krummer. er den deriverte av den deriverte: f′′(x)=(f′(x))′f''(x) = \big(f'(x)\big)'. Den forteller hvordan stigningstallet endrer seg.

Krumning

f′′(x)f''(x)StigningstalletGrafen
>0> 0økervender den hule siden opp (∪\cup)
<0< 0minkervender den hule siden ned (∩\cap)

Dette kalles grafens krumningKrumningHvilken vei grafen bøyer seg. Hul side opp (konveks, ∪\cup) når f′′>0f'' > 0, hul side ned (konkav, ∩\cap) når f′′<0f'' < 0.. Huskeregel: f′′>0f'' > 0 gir en graf som «smiler».

Modell: Krumningen med fortegnslinje

Blå del av grafen vender den hule siden opp, oransje del vender den ned. Under er fortegnslinjen for f′′(x)f''(x).

1234−2−11234567Vendepunktf′′(x)0graf∩∪x = 2
f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1, f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12
Vendepunkt: (2, 3)(2,\ 3)
Heltrukket linje: den andrederiverte er positiv (hul side opp, ∪). Stiplet linje: negativ (hul side ned, ∩).

Vendepunkter

Dag 15 i smittemodellen var grafen brattest, og der skiftet den fra å bøye oppover til å bøye nedover. Et vendepunktVendepunktEt punkt der grafen skifter krumning, fra hul side opp til hul side ned eller omvendt. Der skifter f′′(x)f''(x) fortegn. er et punkt der grafen skifter krumning. Der skifter f′′(x)f''(x) fortegn. I vendepunktet er grafen brattest (eller slakest): f′f' har et topp- eller bunnpunkt.

Tangenten i vendepunktet kalles vendetangenten. Den krysser grafen.

Modell: f, f′ og f″ sammen

Dra punktet langs grafene. Legg merke til at vendepunktet til ff (blå) er toppunktet til f′f' (oransje) og nullpunktet til f′′f'' (lilla).

1234−6−4−22468
f(x)f(x)f′(x)f'(x)f′′(x)f''(x)
Punktet: (2, 3)(2,\ 3)

Prøv dette:

  1. Hvor er grafen til ff brattest nedover? Hva er f′′f'' der?
  2. Den tredje funksjonen i fortegnslinjefiguren er en logistisk funksjon. Hva betyr vendepunktet hvis den beskriver antall smittede?

Andrederiverttesten

Når f′(a)=0f'(a) = 0, kan den andrederiverte avgjøre typen punkt:

  • f′′(a)<0f''(a) < 0 (hul side ned): toppunkt.
  • f′′(a)>0f''(a) > 0 (hul side opp): bunnpunkt.
  • f′′(a)=0f''(a) = 0: testen sier ingenting. Bruk fortegnslinje for f′f'.
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Vendepunkt og vendetangent

Finn vendepunktet og vendetangenten til f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.

f′(x)=3x2−12x+9f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 og f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12.
f′′(x)=0f''(x) = 0 for x=2x = 2, og f′′f'' skifter fortegn fra −- til ++ der. Altså vendepunkt i x=2x = 2.
f(2)=8−24+18+1=3f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3. Vendepunktet er (2,3)(2, 3).
f′(2)=12−24+9=−3f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3. Vendetangenten: y−3=−3(x−2)y - 3 = -3(x - 2), altså y=−3x+9y = -3x + 9.
Eksempel 2: Andrederiverttesten

Bruk andrederiverttesten på f(x)=x3−6x2+9x+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1, som har f′(x)=0f'(x) = 0 for x=1x = 1 og x=3x = 3.

f′′(1)=6−12=−6<0f''(1) = 6 - 12 = -6 < 0. Hul side ned, så x=1x = 1 gir et toppunkt.
f′′(3)=18−12=6>0f''(3) = 18 - 12 = 6 > 0. Hul side opp, så x=3x = 3 gir et bunnpunkt.
Eksempel 3: Når vokser noe raskest?

Antall brukere av en app er modellert ved B(t)=−t3+9t2+20B(t) = -t^3 + 9t^2 + 20 (tusen brukere) for 0≤t≤60 \leq t \leq 6, der tt er måneder. Når vokser brukertallet raskest?

Veksthastigheten er B′(t)=−3t2+18tB'(t) = -3t^2 + 18t. Vi søker toppunktet til B′B'.
B′′(t)=−6t+18=0B''(t) = -6t + 18 = 0 gir t=3t = 3. B′′B'' skifter fra ++ til −-, så B′B' har toppunkt der.
Brukertallet vokser raskest etter 3 måneder, med B′(3)=−27+54=27B'(3) = -27 + 54 = 27 tusen brukere per måned. Dette er vendepunktet til BB.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å tro at f′′(a)=0f''(a) = 0 alltid gir et vendepunkt. x4x^4 har f′′(0)=0f''(0) = 0, men f′′(x)=12x2≥0f''(x) = 12x^2 \geq 0 skifter ikke fortegn.
  • Å blande krumning og stigning. En graf kan stige og samtidig vende den hule siden ned (vokse stadig saktere).
  • Å konkludere med andrederiverttesten når f′′(a)=0f''(a) = 0. Da må du bruke fortegnslinje for f′f'.
  • Å glemme yy-koordinaten til vendepunktet. Sett inn i ff, ikke i f′′f''.
Huskelapp

Huskelapp

  • f′′(x)=(f′(x))′f''(x) = \big(f'(x)\big)'
  • f′′>0f'' > 0: hul side opp (∪\cup). f′′<0f'' < 0: hul side ned (∩\cap).
  • Vendepunkt: f′′f'' skifter fortegn. Der er grafen brattest.
  • Andrederiverttesten: f′(a)=0f'(a) = 0 og f′′(a)<0f''(a) < 0 gir toppunkt, f′′(a)>0f''(a) > 0 gir bunnpunkt.
  • «Veksten avtar»: f′>0f' > 0 og f′′<0f'' < 0.
Oppgaver

Øv selv