Geometriske rekker

Når hvert ledd er et fast tall ganger det forrige. Summeformelen, uendelige rekker og hvorfor 0,999… er lik 1.

R2
Fint å kunne først: Følger og aritmetiske rekkerGrenseverdier mot uendelig
Utforsk

Start her: utforsk

Spis halvparten av en sjokolade. Spis så halvparten av det som er igjen. Og halvparten av det som er igjen … Hvor mye har du spist til slutt?

Søylene er bitene du spiser, og de oransje punktene er hvor mye du har spist til sammen.

S = 11234567891000,51
leddene summen så langt
Leddene: 0,5, 0,25, 0,13, 0,06, 0,03, 0,02, 0,01, 0, …
Ledd nummer 10: 0,001. Summen av alle 10 leddene: 0,999.

Prøv dette:

  1. Hvor mye har du spist etter 3 biter? Etter 10? Kommer du noen gang over én hel sjokolade?
  2. Øk antall biter. Hvor nær 1 kommer summen?
  3. Sett faktoren til 0,25 (du spiser en firedel av resten hver gang, men starter med en firedel). Hvilket tall nærmer summen seg nå? Gjett først.
  4. Hva skjer hvis faktoren er større enn 1?
Forklaring

Forklaring

Geometriske følger

Sjokoladebitene var 12,14,18,116,…\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \dots Hver bit er halvparten av den forrige. Summen kommer aldri over 1, men så nær du vil:

12+14+18+116+⋯=1\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots = 1

Summen av uendelig mange ledd kan altså bli et helt vanlig tall. I en geometriskGeometrisk rekkeEn rekke der forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant, kk. En uendelig geometrisk rekke konvergerer når ∣k∣<1|k| < 1. følge er forholdet (kvotienten) kk mellom to påfølgende ledd konstant:

an=a1⋅kn−1a_n = a_1 \cdot k^{n-1}

Summen av n ledd

Et triks som ligner Gauss’: Gang summen med kk og trekk fra.

Sn=a1+a1k+a1k2+⋯+a1kn−1kSn=a1+a1k+a1k2+⋯+a1kn−1+a1kn\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1k + a_1k^2 + \dots + a_1k^{n-1} \\ kS_n &= \phantom{a_1 + {}} a_1k + a_1k^2 + \dots + a_1k^{n-1} + a_1k^n \end{aligned}

Nesten alt forsvinner i differansen: kSn−Sn=a1kn−a1kS_n - S_n = a_1k^n - a_1. Altså (for k≠1k \neq 1)

Sn=a1⋅kn−1k−1S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

Uendelige geometriske rekker

Hvis ∣k∣<1|k| < 1, går kn→0k^n \to 0 når n→∞n \to \infty. Da konvergererKonvergensEn uendelig rekke konvergerer hvis delsummene SnS_n nærmer seg et bestemt tall SS når n→∞n \to \infty. Ellers divergerer den. rekken:

S=lim⁡n→∞Sn=a1⋅0−1k−1=a11−kS = \lim_{n \to \infty} S_n = a_1 \cdot \frac{0 - 1}{k - 1} = \frac{a_1}{1 - k}

Hvis ∣k∣≥1|k| \geq 1, divergerer rekken. Delsummene nærmer seg ikke noe tall.

Modell: Konvergens og divergens

Samme modell, nå med formlene. Endre kk. Når konvergerer rekken, og mot hva? Hva skjer når kk er negativ?

S = 212345678910111213141500,511,52
leddene ana_n delsummene SnS_n
an=1⋅0,5 n−1a_n = 1 \cdot 0{,}5^{\,n-1}, så a15=0,0001a_{15} = 0{,}0001
S15=1,9999S_{15} = 1{,}9999
Siden ∣k∣<1|k| < 1, konvergerer rekken mot S=a11−k=2S = \dfrac{a_1}{1 - k} = 2.

Prøv dette:

  1. Sett k=−0,5k = -0{,}5. Hvordan beveger delsummene seg mot grensen?
  2. Hva skjer når k=1k = 1? Og når k=1,1k = 1{,}1?
  3. Finn en a1a_1 og kk som gir summen 10.

0,999… = 1

0,999…=0,9+0,09+0,009+…0{,}999\ldots = 0{,}9 + 0{,}09 + 0{,}009 + \dots er en geometrisk rekke med a1=0,9a_1 = 0{,}9 og k=0,1k = 0{,}1:

S=0,91−0,1=0,90,9=1S = \frac{0{,}9}{1 - 0{,}1} = \frac{0{,}9}{0{,}9} = 1
Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Endelig sum

Finn 3+6+12+⋯+3⋅293 + 6 + 12 + \dots + 3 \cdot 2^9.

a1=3a_1 = 3, k=2k = 2 og n=10n = 10 ledd.
S10=3⋅210−12−1=3⋅1023=3069S_{10} = 3 \cdot \dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 1023 = 3069.
Eksempel 2: Uendelig sum

Finn summen av 12−4+43−49+…12 - 4 + \frac{4}{3} - \frac{4}{9} + \dots

a1=12a_1 = 12 og k=−13k = -\frac{1}{3}. Siden ∣k∣<1|k| < 1, konvergerer rekken.
S=121−(−13)=1243=9S = \dfrac{12}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \dfrac{12}{\frac{4}{3}} = 9.
Eksempel 3: Konvergensområde

For hvilke xx konvergerer 1+2x+4x2+8x3+…1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots, og hva er summen?

a1=1a_1 = 1 og k=2xk = 2x.
Konvergens krever ∣2x∣<1|2x| < 1, altså −12<x<12-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}.
Summen er S(x)=11−2xS(x) = \dfrac{1}{1 - 2x}.
Eksempel 4: En sprettende ball

En ball slippes fra 2 m høyde og spretter hver gang opp til 70 % av høyden den falt fra. Hvor langt beveger den seg totalt?

Ned: 22. Opp og ned: 2⋅(2⋅0,7)+2⋅(2⋅0,72)+…2 \cdot (2 \cdot 0{,}7) + 2 \cdot (2 \cdot 0{,}7^2) + \dots
Total =2+2⋅1,41−0,7=2+2,80,3≈11,3= 2 + 2 \cdot \dfrac{1{,}4}{1 - 0{,}7} = 2 + \dfrac{2{,}8}{0{,}3} \approx 11{,}3 m.
Vanlige feil

Vanlige feil

  • Å bruke a11−k\frac{a_1}{1-k} når ∣k∣≥1|k| \geq 1. Da finnes ingen sum.
  • Feil kvotient. k=a2a1k = \frac{a_2}{a_1}, ikke a2−a1a_2 - a_1.
  • Feil antall ledd. I 3+6+⋯+3⋅293 + 6 + \dots + 3 \cdot 2^9 er det 10 ledd (eksponentene 0 til 9).
  • Å tro at leddene som går mot 0 alltid gir konvergens. Den harmoniske rekken 1+12+13+…1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots divergerer.
Huskelapp

Huskelapp

  • an=a1kn−1a_n = a_1 k^{n-1}
  • Sn=a1kn−1k−1S_n = a_1 \dfrac{k^n - 1}{k - 1} for k≠1k \neq 1
  • Uendelig: konvergerer når ∣k∣<1|k| < 1, med S=a11−kS = \dfrac{a_1}{1 - k}.
  • 0,999…=10{,}999\ldots = 1
Oppgaver

Øv selv