Potensregler · Fagene forklart

Utforsk

Start her: utforsk

Bretter du et ark på midten, blir det dobbelt så tykt. Bretter du igjen, blir det fire ganger så tykt. Hvor mange lag blir det etter mange bretter? Og hva skjer når du bretter ut igjen?

8 lag

0,8 mm

Tynnere enn en mobiltelefon.

Neste: en mobiltelefon som ligger flatt (8 mm).

Antall brettinger 3

Antall lag: 2 · 2 · 2 = 8

Tykkelse: 8 · 0,1 mm = 0,8 mm

Prøv dette:

Brett 3 ganger. Hvor mange lag er det? Brett så 4 ganger til. Hvor mange lag er det nå? Hvor mange bretter er det til sammen?
Hvor mange ganger så mange lag blir det når du bretter 4 ganger til? Hvordan henger det sammen med svaret over?
Start med 7 bretter og brett ut 3 av dem. Hvor mange lag har du igjen? Hvilken regning gjorde du?
Brett ut alle brettene. Hvor mange lag er det da?

Forklaring

Reglene

Etter 3 bretter er det $2^3 = 8$ lag. Bretter du 4 ganger til, blir hvert lag til $2^4 = 16$ lag, så det blir $8 \cdot 16 = 128 = 2^7$ lag. En potens som $2^7$ er en kort måte å skrive «2 ganget med seg selv 7 ganger». Alle potensreglene kommer av å telle faktorer:

2^3 \cdot 2^4 = \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2)}_{3} \cdot \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)}_{4} = 2^{7}

Bretter du ut 3 av 7 bretter, deler du på $2^3$ : $\frac{2^7}{2^3} = 2^4 = 16$ lag.

Regel	Hvorfor
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$m$ faktorer og $n$ faktorer blir $m + n$ faktorer
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$n$ av faktorene forkortes bort
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$n$ grupper med $m$ faktorer
$(ab)^n = a^n b^n$	stokk om faktorene
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Samlet kalles dette potensreglene.

Modell: Test reglene

Velg tall og se hvilke regler som holder. De to nederste er vanlige feil.

a

2

m

3

n

2

Regel	Venstre side	Høyre side
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	32	32	✓ Like
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	2	2	✓ Like
$(a^m)^n = a^{mn}$	64	64	✓ Like
$a^m + a^n = a^{m+n}$ vanlig feil	12	32	✗ Ulike
$(a^m)^n = a^{m+n}$ vanlig feil	64	32	✗ Ulike

Prøv dette:

Finnes det tall der den første feilregelen tilfeldigvis stemmer? (Prøv $a = 2$ , $m = 1$ , $n = 1$ .)
Hva skjer med $(a^m)^n = a^{m+n}$ når $m = 2$ og $n = 2$ ? Hvorfor?

Null og negative eksponenter

Hvis regelen $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ skal gjelde også når $m = n$ , må

a^0 = \frac{a^n}{a^n} = 1

og når $m = 0$ :

a^{-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n}

En negativ eksponent betyr altså «én delt på», ikke et negativt tall. $2^{-3} = \frac{1}{8}$ .

Modell: Potenstrappa

Hvert steg til høyre ganger med grunntallet, hvert steg til venstre deler. Se hvordan $a^0$ og de negative eksponentene faller naturlig på plass.

Grunntall:

2^-3

18

2^-2

14

2^-1

12

2⁰

1

2¹

2

2²

4

2³

8

2⁴

16

Hvert trinn til venstre deler på 2. Derfor er 2⁰ = 2 : 2 = 1, og 2⁻¹ = 1 : 2.

Brøkeksponenter og røtter

Hvis $(a^m)^n = a^{mn}$ skal gjelde, må $\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^1 = a$ . Da er $a^{\frac{1}{2}}$ det tallet som i andre gir $a$ , altså $\sqrt{a}$ . Generelt:

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \qquad \text{og} \qquad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Eksempler

Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Forenkle et uttrykk

Forenkle $\dfrac{(a^3b^2)^2}{a^4b}$ .

Potens av produkt og potens av potens:

(a^3b^2)^2 = a^6b^4

.

Del:

\dfrac{a^6b^4}{a^4b^1} = a^{6-4}b^{4-1} = a^2b^3

.

Eksempel 2: Brøkeksponent

Regn ut $8^{\frac{2}{3}}$ uten kalkulator.

8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2

.

\sqrt[3]{8} = 2

, fordi

2^3 = 8

. Altså

8^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4

.

Eksempel 3: Skriv som én potens

Skriv $\dfrac{\sqrt{x} \cdot x^2}{x^{-1}}$ som én potens av $x$ .

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

.

\dfrac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^2}{x^{-1}} = x^{\frac{1}{2} + 2 - (-1)} = x^{\frac{7}{2}}

.

Vanlige feil

$a^m + a^n = a^{m+n}$ . Nei! Regelen gjelder bare for multiplikasjon. $2^2 + 2^3 = 12$ , men $2^5 = 32$ .
$(a^m)^n = a^{m+n}$ . Potens av potens gir produkt av eksponentene: $(a^2)^3 = a^6$ .
$2^{-3} = -8$ . En negativ eksponent betyr «én delt på»: $2^{-3} = \frac{1}{8}$ .
$(a + b)^2 = a^2 + b^2$ . Riktig er $a^2 + 2ab + b^2$ .
$a^{\frac{1}{2}} = \frac{a}{2}$ . Nei, $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$ .

Huskelapp

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$
$(ab)^n = a^nb^n$ , $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
$a^0 = 1$ , $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ , $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
Ingen regel for $a^m + a^n$ eller $(a + b)^n$ .